Trong đêm, một âm thanh cầu cứu phát ra từ một vị trí trong rừng và đã được hai trạm ghi tín hiệu ở các vị trí A, B nhận được

Bài 17 trang 97 Toán 10 Tập 2: Trong đêm, một âm thanh cầu cứu phát ra từ một vị trí trong rừng và đã được hai trạm ghi tín hiệu ở các vị trí A, B nhận được. Khoảng cách giữa hai trạm là 16 km và trạm ở vị trí A nhận được tín hiệu sớm hơn 6 giây so với trạm ở vị trí B. Giả sử vận tốc âm thanh là 1 236 km/h. Hãy xác định phạm vi tìm kiếm vị trí phát ra âm thanh đó.

Trả lời

Gọi M là vị trí phát ra âm thanh cầu cứu trong rừng. Gọi t_A, t_B lần lượt là thời gian truyền từ M đến các trạm phát thanh A, B. 

Theo đề bài ta có t_B – t_A = 6 (giây) hay t_A – t_B = – 6 (giây).

Đổi 1 236 km/h = $\frac{1236}{3600}km/s=\frac{103}{300}km/s$. 

Khi đó vận tốc âm thanh là $v=\frac{103}{300}km/s$

Khoảng cách từ M đến A chính là quãng đường âm thanh di chuyển từ M đến A, do đó MA = v . t_A. 

Khoảng cách từ M đến B chính là quãng đường âm thanh di chuyển từ M đến B, do đó MB = v . t_B. 

Từ đó suy ra: MA – MB = v . t_A – v . t_B= v(t_A – t_B) = $\frac{103}{300}.\left(-6\right)=-\frac{103}{50}=-\mathrm{2,06}$. 

Gọi (H) là hypebol ở dạng chính tắc nhận A, B làm hai tiêu điểm và đi qua M. Khi đó ta có $\left\{\begin{array}{l}2c=AB=16\\ 2a=\left|MA-MB\right|=\left|-\mathrm{2,06}\right|=\mathrm{2,06}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}c=8\\ a=\mathrm{1,03}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=\mathrm{1,03}\\ b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{8^2-{\left(\mathrm{1,03}\right)}^2}=\sqrt{\mathrm{62,9391}}\end{array}\right.$

Vậy phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{{\left(\mathrm{1,03}\right)}^2}-\frac{y^2}{{\left(\sqrt{\mathrm{62,9391}}\right)}^2}=1$ hay $\frac{x^2}{\mathrm{1,0609}}-\frac{y^2}{\mathrm{62,9391}}=1$. 

(Lưu ý rằng MA < MB, do đó vị trí của điểm M thuộc nhánh của (H) gần với trạm A hơn). 

Vậy phạm vi tìm kiếm vị trí phát ra âm thanh đó là hypebol (H) có phương trình $\frac{x^2}{\mathrm{1,0609}}-\frac{y^2}{\mathrm{62,9391}}=1$.