Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có ba đỉnh A(– 1; 3), B(1; 2), C(4; – 2). a) Viết phương trình đường thẳng BC

Bài 15 trang 96 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có ba đỉnh A(– 1; 3), B(1; 2), C(4; – 2).

a) Viết phương trình đường thẳng BC.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

c) Viết phương trình đường tròn có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng BC.

Trả lời

a) Ta có: $\overrightarrow{BC}=\left(4-1;\left(-2\right)-2\right)=\left(3;-4\right)$. 

Do đó đường thẳng BC có 1 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{BC}}=\left(3;-4\right)$. 

Suy ra đường thẳng BC có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{BC}}=\left(4;3\right)$. 

Phương trình đường thẳng BC là 4.(x – 1) + 3(y – 2) = 0 hay 4x + 3y – 10 = 0. 

b) Ta có: $BC=\sqrt{3^2+{\left(-4\right)}^2}=5$. 

Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC là 

d(A, BC) = $\frac{\left|4\cdot \left(-1\right)+3\cdot 3-10\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{5}{5}=1$. 

Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC chính bằng khoảng cách từ A đến đường thẳng BC. Do đó, diện tích tam giác ABC là

S_ABC = $\frac{1}{2}d\left(A,BC\right)\cdot BC=\frac{1}{2}\mathrm{.1.5}=\frac{5}{2}$. 

c) Đường tròn có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng BC có bán kính bằng khoảng cách từ A đến đường thẳng BC, do đó R = d(A, BC) = 1. 

Vậy phương trình đường tròn là (x + 1)² + (y – 3)² = 1.