Từ các công thức tính diện tích tam giác đã được học, hãy chứng minh rằng, trong tam giác ABC

Bài 13 trang 96 Toán 10 Tập 2: Từ các công thức tính diện tích tam giác đã được học, hãy chứng minh rằng, trong tam giác ABC, ta có

$r=\frac{\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}{2\sqrt{a+b+c}}$.

Trả lời

Gọi S, p lần lượt là diện tích, nửa chu vi của tam giác ABC. 

Ta có: $p=\frac{a+b+c}{2}$. 

Theo các công thức về diện tích tam giác, ta có: 

$S=p.r=\sqrt{p.\left(p-a\right).\left(p-b\right).\left(p-c\right)}$. 

Từ đó suy ra:$r=\frac{S}{p}=\frac{\sqrt{p.\left(p-a\right).\left(p-b\right).\left(p-c\right)}}{p}$

$$\begin{gathered} =\sqrt{\frac{p.\left(p-a\right).\left(p-b\right).\left(p-c\right)}{p^2}}=\sqrt{\frac{\left(p-a\right).\left(p-b\right).\left(p-c\right)}{p}} \\ =\sqrt{\frac{\left(\frac{a+b+c}{2}-a\right).\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right).\left(\frac{a+b+c}{2}-c\right)}{\frac{a+b+c}{2}}} \\ =\sqrt{\frac{\frac{b+c-a}{2}.\frac{a+c-b}{2}.\frac{a+b-c}{2}}{\frac{a+b+c}{2}}}=\sqrt{\frac{1}{8}\mathrm{.2.}\frac{\left(b+c-a\right).\left(a+c-b\right).\left(a+b-c\right)}{a+b+c}} \\ =\sqrt{\frac{\left(b+c-a\right).\left(a+c-b\right).\left(a+b-c\right)}{4\left(a+b+c\right)}}=\frac{{\displaystyle \sqrt{\left(b+c-a\right).\left(c+a-b\right).\left(a+b-c\right)}}}{{\displaystyle 2\sqrt{a+b+c}}} \end{gathered}$$. 

Vậy r $=\frac{\sqrt{\left(b+c-a\right).\left(c+a-b\right).\left(a+b-c\right)}}{2\sqrt{a+b+c}}$(điều phải chứng minh).