A = x2 + 4y2 – 4x + 32y + 2078

Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất:

a) A = x² + 4y² – 4x + 32y + 2078;

b) B = 3x² + y² + 4x – y .

Trả lời

Hướng dẫn giải:

a) Ta có A = x² + 4y² – 4x + 32y + 2078

= (x² – 4x +2) + (4y² + 32y + 64) + 2010

= (x – 2)² + (2y + 8)² + 2010

Vì  (x – 2)² ≥ 0; (2y + 8)²  ≥ 0 nên A = (x – 2)² + (2y + 8)² + 2010 ≥ 2010.

Dấu = xảy ra khi x – 2 = 0 và 2y + 8 = 0.

Vây A_min = 2010 ⇔ (x; y) = (2; – 4).

b) Ta có: B = 3x² + y² + 4x – y

$$\begin{gathered} =3\left(x^2+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}\right)+\left(y^2-y+\frac{1}{4}\right)-\frac{19}{12} \\ =3{\left(x+\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}}\right)}^2+{\left(y-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\right)}^2-\frac{{\displaystyle 19}}{{\displaystyle 12}} \\ \Rightarrow B=3{\left(x+\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}}\right)}^2+{\left(y-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\right)}^2-\frac{{\displaystyle 19}}{{\displaystyle 12}}\ge \frac{{\displaystyle -19}}{{\displaystyle 12}} \end{gathered}$$

Dấu = xảy ra khi $x+\frac{2}{3}=0$ ; $y-\frac{1}{2}=0$ .

Vậy  $B_{\min }=-\frac{19}{12}\iff \left\{\begin{array}{c}x=-\frac{2}{3}\\ y=\frac{1}{2}\end{array}\right.$.