a) Ông An dự định sử dụng hết $6,7{\text{m}}^2$ kính để làm một bể bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Hỏi bể có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
b) Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có đáy $ABC$ là tam giác cân với $AB=AC=a$ ,$\widehat{BAC}=120°$ . Mặt phẳng $\left(A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$ tạo với đáy một góc $60°$. Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho.

a)

Gọi $x\left(m\right)$, $2x\left(m\right)$, $h\left(m\right)$ lần lượt là chiều rộng, chiều dài, chiều cao của bể $(x>0,h>0)$.
Tổng diện tích các mặt của bể:$2(xh+2xh)+2x^2=6xh+2x^2=6,7$ .$\Rightarrow h=\frac{6,7-2x^2}{6x}$
Vì $h>0$ nên $x<\sqrt{\frac{6,7}{2}}$.
Thể tích bể là $V\left(x\right)=\frac{6,7x-2x^3}{3},\forall x\in \left(0;\sqrt{\frac{6,7}{2}}\right)$.
Suy ra $V^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{6,7-6x^2}{3},\forall x\in \left(0;\sqrt{\frac{6,7}{2}}\right)$
Cho $V^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \frac{6,7-6x^2}{3}=0\iff x=\sqrt{\frac{6,7}{6}}$(nhận); $V\left(\sqrt{\frac{6,7}{6}}\right)\approx 1,57$.
Bảng biến thiên

Vậy bể cá có dung tích lớn nhất bằng $1,57{\text{m}}^3$.
b)

Gọi H là trung điểm của B'C', khi đó góc giữa mp $\left(A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$ và đáy là góc $\widehat{AH{A}^{\text{'}}}=60°$.
Ta có $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC.AB.\sin 120°=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

$\Rightarrow A^{\text{'}}H=\frac{2S_{\Delta ABC}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{a}{2}$$\Rightarrow A{A}^{\text{'}}=A^{\text{'}}H.\tan 60°=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ 
Vậy $V=S_{\Delta ACB}.A{A}^{\text{'}}=\frac{3a^3}{8}$.