a) Cho biểu thức \[A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\] với x ≥ 0. Tính giá trị của A khi x = 16.

b) Cho biểu thức \(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{5}{{1 - \sqrt x }} + \frac{4}{{x - 1}}\) với x ≥ 0; x ≠ 1. Rút gọn B.

c) Tìm các số hữu tỉ x để P = A.B có giá trị nguyên.

Lời giải

a) Thế x = 16 (thỏa mãn) vào A, ta được:

\[A = \frac{{\sqrt {16} - 1}}{{\sqrt {16} + 2}} = \frac{{4 - 1}}{{4 + 2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\].

Vậy \(A = \frac{1}{2}\) khi x = 16.

b) Với x ≥ 0; x ≠ 1 ta có:

\(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{5}{{1 - \sqrt x }} + \frac{4}{{x - 1}}\)

\( = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{5}{{\sqrt x - 1}} + \frac{4}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) + 5\left( {\sqrt x + 1} \right) + 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 2\sqrt x - 3 + 5\sqrt x + 5 + 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 7\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 1}}\).

c) Với x ≥ 0; x ≠ 1, ta có:

\[P = A.B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}.\frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 2 + 4}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x + 2}}\].

Với x ≥ 0; x ≠ 1 ta có \(\sqrt x + 2 > 0 \Rightarrow \frac{4}{{\sqrt x + 2}} > 0\) \( \Rightarrow 1 + \frac{4}{{\sqrt x + 2}} > 1\) hay P > 1

Với x ≥ 0; x ≠ 1 ta có \(\sqrt x + 2 \ge 2 \Rightarrow \frac{4}{{\sqrt x + 2}} \le 2 \Rightarrow 1 + \frac{4}{{\sqrt x + 2}} \le 3\) hay P ≤ 3

Do đó 1 < P ≤ 3

Để P có giá trị nguyên thì P ∈ {2; 3}.

• Với P = 2 ta có:

\[1 + \frac{4}{{\sqrt x + 2}} = 2 \Leftrightarrow \frac{4}{{\sqrt x + 2}} = 1 \Leftrightarrow \sqrt x + 2 = 4 \Leftrightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4\left( {tm} \right)\]

• Với P = 3 ta có:

\[1 + \frac{4}{{\sqrt x + 2}} = 3 \Leftrightarrow \frac{4}{{\sqrt x + 2}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt x + 2 = 2 \Leftrightarrow \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\left( {tm} \right)\]

Vậy x ∈ {0; 4} thì P = A.B có giá trị nguyên.