Các dạng bài tập về cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy
I. Lí thuyết / Phương pháp giải
Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy (3 đường thẳng giao nhau tại một điểm) chúng ta thường dùng một trong những cách sau:
Cách 1: Chứng minh có một điểm đồng thời thuộc cả ba đường thẳng đó.
Cách 2: Chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng này nằm trên đường thẳng thứ ba.
Cách 3: Chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng thứ nhất và thứ hai trùng với giao điểm của hai đường thẳng thứ hai và thứ ba.
Cách 4: Sử dụng tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến, đường cao, phân giác, trung trực trong tam giác.
Cách 5: Sử dụng tính chất của đường chéo của các tứ giác đặc biệt.
II. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, các đường phân giác các góc ngoài của tam giác cắt nhau tại D, E, F (D nằm trong góc A, E nằm trong góc B, F nằm trong góc C)
a) Chứng minh các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy tại O
b) Điểm O có vị trí như thế nào đối với tam giác DEF
Hướng dẫn giải
a) Xét tam giác ABC các đường phân giác ngoài đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại D.
=> AD là đường phân giác trong đỉnh A
Chứng minh tương tự ta được BE và CF lần lượt là đường phân giác trong tại đỉnh B và C của tam giác ABC
=> Ba đường AD, BE, CF đồng quy tại điểm O
b) Ba điểm B, D, F thẳng hàng, ba điểm C, D, E thẳng hàng, ba điểm A, E, F thẳng hàng
Xét tam giác DEF có
AD ⊥ EF (hai đường phân giác của hai góc kề bù)
Tương tự BE ⊥ DF, CF ⊥ DE
=> AD, BE, CF là ba đường cao gặp nhau tại O
=> O là trực tâm của tam giác DEF.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có góc A bằng 45o .Vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác DAB và EAC vuông cân tại D và E. Vẽ Chứng minh rằng ba đường thẳng AH, BD, CE đồng quy.
Hướng dẫn giải
III. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi E; F; G là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB; AC; BD sao cho EF cắt BC tại I; EG cắt AD tại H. Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?
A. CD; EF; EG B. CD; IG; HF C. AB; IG; HF D, AC; IG; BD
Lời giải
Gọi O là giao điểm của HF và IG . Ta có
- O ∈ HF mà HF ⊂ (ACD) suy ra O ∈ (ACD)
- O ∈ IG mà IG ⊂ (BCD) suy ra O ∈ (BCD)
Do đó O ∈ (ACD) ∩ (BCD) (1)
Mà (ACD) ∩ (BCD) = CD (2)
Từ (1) và (2), suy ra O ∈ CD.
Vậy ba đường thẳng CD; IG; HF đồng quy tại O.
Chọn B
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không phải là hình thang. Trên cạnh SC lấy điểm M . Gọi N là giao điểm của SD và mp (AMB). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Ba đường thẳng AB; CD; MN đôi một song song
B. Ba đường thẳng AB; CD; MN đôi một cắt nhau
C. Ba đường thẳng AB; CD; MN đồng quy
D. Ba đường thẳng AB; CD; MN cùng thuộc một mặt phẳng
Lời giải
- Trong mp (ABCD) gọi I là giao điểm của AD và BC
Trong mp (SBC), gọi K là giao điểm của BM và SI
Trong mp (SAD); gọi N là giao điểm của AK và SD
Khi đó N là giao điểm của đường thẳng SD với mp(AMB)
- Gọi O là giao điểm của AB và CD. Ta có:
+ O ∈ AB mà AB ⊂ (AMB) suy ra O ∈ (AMB)
+ O ∈ CD mà CD ⊂ (SCD) suy ra O ∈ (SCD
⇒ O ∈ (AMB) ∩ (SCD) (1)
Mà MN = (AMB) ∩ (SCD) (2)
Từ (1) và (2) , suy ra O ∈ MN.
Vậy ba đường thẳng AB; CD và MN đồng quy.
Chọn C
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD, O là giao điềm của AC và BD. Gọi M là trug điểm của SC và AM cắt SO tại I. Chứng minh 3 đường thẳng SI ; AC; BD đồng quy.
Lời giải:
+ Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SO
+ Giao tuyến của (SAC) và mp (ABCD) = AC
+ Giao tuyên của (SBD) và (ABCD) = BD.
⇒ Ba mặt phẳng (SAC); (SBD) và (ABCD) đồng quy tại 1 điểm
Mà AC cắt BD tại O nên 3 đường thẳng này đồng quy tại O
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD, AC và BD cắt nhau tại O. Một mặt phẳng cắt các cạnh SA; SB; SC; SD lần lượt tại A’; B’; C’ và D’. Giả sử AD cắt BC tại E; A’D’ cắt B’C’ tại E’. Chứng minh 3 đường thẳng A’C’; B’D’; SO đồng quy?
Lời giải:
+ trong mp (A’B’C’D’); gọi K là giao điểm của A’C’ và B’D’ ta có:
⇒ K ∈ (SAC) ∩ (SBD) (1)
+ Mà (SAC) ∩ (SBD = SO (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra: K ∈ SO
⇒ 3 đường thẳng A’C’; B’D’ và SO đồng quy tại K
Câu 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh bên SA; SB;SC và SD tương ứng tại các điểm M, N, P, Q. Khẳng định nào đúng?
A. Các đường thẳng MP, NQ, SO đồng qui
B. Các đường thẳng MP, NQ, SO chéo nhau
C. Các đường thẳng MP, NQ, SO song song
D. Các đường thẳng MP, NQ, SO trùng nhau
Lời giải:
Trong mặt phẳng (MNPQ) gọi I = MP ∩ NQ
Ta sẽ chứng minh I ∈ SO
+ Dễ thấy SO = (SAC) ∩ (SBD)
Vậy MP, NQ, SO đồng qui tại I
Chọn A
Câu 6: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng a. Trong (P) lấy hai điểm A, B nhưng không thuộc a và S là một điểm không thuộc (P). Các đường thẳng SA; SB cắt (Q) tương ứng tại các điểm C; D. Gọi E là giao điểm của AB và a. Khẳng định nào đúng?
A. AB; CD và a đồng qui
B. AB; CD và a chéo nhau
C. AB; CD và a song song nhau
D. AB; CD và a trùng nhau
Lời giải:
+ Trước tiên ta có vì ngược lại thì S ∈ AB ⊂ (P) ⇒ S ∈ (P) (mâu thuẫn giả thiết)
Do đó S; A và B không thẳng hàng, vì vậy ta có mặt phẳng (SAB)
Vậy AB; CD và a đồng qui tại E
Chọn A
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có AB không song song CD. Gọi M là trung điểm SC và O là giao điểm AC với BD
a) Tìm giao điểm N của SD với (MAB)
b) Chứng minh: SO; AM; BN đồng quy
Lời giải:
a) Trong mp(ABCD) gọi
Chứng tỏ ba đường thẳng SO; AM;BN đồng quy tại điểm I
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có AB ∩ CD = E, AD ∩ BC = K. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA; SB; SC.
a) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD)
b) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SBD)
c) Tìm giao điểm của Q của SD và (MNP)
d) Gọi H = MN ∩ PQ. Chứng minh: S; H; E thẳng hàng
e) Chứng minh: SK; QM; NP đồng quy
Lời giải:
a) Có S ∈ (SBD) ∩ (SAC) (1)
Trong mp(ABCD) gọi I = AC ∩ BD
Từ (1) và (2) suy ra (SBD) ∩ (SAC) = SI
b) Có N ∈ (SBD) ∩ (MNP) (3)
Trong mp(SAC) gọi
Từ (3) và (4) suy ra (SBD) ∩ (MNP) = NJ
c) Trong mp(SBD) gọi Q = SD ∩ NJ
⇒ 
d) Có SE = (SAB) ∩ (SCD)
Theo giả thuyết có H = MN ∩ PQ
⇒ 
Hay H ∈ SE nên 3 điểm S, H, E thẳng hàng
e) Có SK = (SAD) ∩ (SBC)
Theo giả thuyết có R = MQ ∩ NP
⇒ 
Hay R ∈ SK nên ba đường thẳng SK, MQ, NP đồng quy tại điểm R
Xem thêm các dạng bài tập Toán học hay khác:
70 Bài tập về Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác (có đáp án năm 2024) - Toán 7
70 Bài tập về Sự đồng quy của ba đường phân giác trong một tam giác (có đáp án năm 2024) - Toán 7
70 Bài tập về Sự đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giác (có đáp án năm 2024) - Toán 7
70 Bài tập về Sự đồng quy của ba đường cao trong một tam giác (có đáp án năm 2024) - Toán 7
30 Bài tập chứng minh 3 đường thẳng đồng quy (2024) mới nhất
