70 Bài tập về đạo hàm của hàm số lượng giác (có đáp án năm 2024) - Toán 11

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Kiến thức cần nhớ

1. Giới hạn $\frac{\mathbf{s}\mathbf{\text{inx}}}{\mathbf{x}}$

Định lý 1.

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{s}\text{inx}}{x}=1.$

Ví dụ 1. Tính $\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{\sin \left(\mathrm{x}-1\right)}{{\mathrm{x}}^2-1}$

Lời giải

Đặt x – 1 = t.

Khi x tiến đến 1 thì t tiến đến 0.

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}+2\right)}=\underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\left(\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}.\frac{1}{\mathrm{t}+2}\right) \\ =\underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}.\underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{t}+2}=1.\frac{1}{2}=\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

2. Đạo hàm của hàm số y = sinx

Định lý 2.

Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$ và (sinx)’ = cosx.

Chú ý:

Nếu y = sinu và u = u(x) thì: (sinu)’ = u’.cosu

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số $\mathrm{y}={\left[\sin \left(2\mathrm{x}+3\right)\right]}^2$

Lời giải

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}=2{\left[\sin \left(2\mathrm{x}+3\right)\right]}^{\text{'}}.\sin \left(2\mathrm{x}+3\right) \\ =2\left[\cos \left(2\mathrm{x}+3\right).{\left(2\mathrm{x}+3\right)}^{\text{'}}\right].\sin \left(2\mathrm{x}+3\right) \\ \mathrm{y}\text{'}=4\cos \left(2\mathrm{x}+3\right).\sin \left(2\mathrm{x}+3\right) \end{gathered}$$

3. Đạo hàm của hàm số y = cosx

Định lý 3.

Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$ và (cosx)’ = - sinx.

Chú ý:

Nếu y = cosu và u = u(x) thì: (cosu)’ = - u’.sinu

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số $\mathrm{y}=\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)$ tại $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$.

Lời giải

Đặt $\mathrm{u}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{y}\text{'}=\left(\mathrm{cosu}\right)\text{'}=-\mathrm{u}\text{'}.\mathrm{sinu}= \\ -{\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)}^{\text{'}}\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right). \end{gathered}$$

Thay $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ vào y’ ta được:

$\mathrm{y}\text{'}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)=\frac{1}{2}.$

Vậy giá trị của đạo hàm của hàm số tại $\text{x=}\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ là $\frac{1}{2}$

4. Đạo hàm của hàm số y = tanx

Định lý 4.

Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{k\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ và (tanx)’ = $\frac{1}{{\text{cos}}^2\mathrm{x}}$.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (tanu)’ = $\frac{\mathrm{u}\text{'}}{{\text{cos}}^2\mathrm{u}}.$

Ví dụ 4. Tính đạo hàm $\mathrm{y}=\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}$

Lời giải

Đặt u = 2 + tanx

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}=\frac{\mathrm{u}\text{'}}{2\sqrt{\mathrm{u}}}=\frac{\left(2+\mathrm{tanx}\right)\text{'}}{2\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}} \\ =\frac{\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{x}}}{2\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}} \\ =\frac{1}{2.{\cos }^2\mathrm{x}\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}} \end{gathered}$$

5. Đạo hàm của hàm số y = cotx

Định lý 5.

Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\ne \mathrm{k\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ và (cotx)’ = $-\frac{1}{{\text{sin}}^{2}x}$.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (cotu)’ = $-\frac{\mathrm{u}\text{'}}{{\sin }^2\mathrm{u}}.$

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm y = cot x².

Lời giải

y’ = (cot x²)’ = (x²)’.$\frac{-1}{{\left(\mathrm{s}{\text{inx}}^2\right)}^2}$=$-\frac{2\mathrm{x}}{{\left(\mathrm{s}{\text{inx}}^2\right)}^2}$.

6. Bảng quy tắc tính đạo hàm tổng hợp:

Các dạng toán về đạo hàm của hàm số lượng giác

Dạng 1. Tính đạo hàm của các hàm số lượng giác.

Phương pháp giải:

- Áp dụng các công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác.

- Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm số hợp.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = 5sin x – 3cos x

b) y = sin(x² – 3x + 2)

c) $y=\sqrt{1+2\tan x}$

d) y = tan 3x – cot 3x

e) $y=\tan 2x-\frac{1}{3}\cot 4x+\sqrt{\sin x}$

Lời giải

a) Ta có: y' = 5cos x + 3sin x

b) Ta có: y' = (x² – 3x + 2)’.cos(x² – 3x + 2) = (2x – 3).cos(x² – 3x + 2).

c) Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{{\left(1+2\tan x\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1+2\tan x}}$$=\frac{\frac{2}{{\cos }^{2}x}}{2\sqrt{1+2\tan x}}$$=\frac{1}{{\cos }^{2}x\sqrt{1+2\tan x}}$.

d) Ta có các cách thực hiện sau:

Cách 1: Ta có ngay:

$y^{\text{'}}=\frac{3}{{\cos }^{2}3x}+\frac{3}{{\sin }^{2}3x}$$=\frac{3}{{\sin }^{2}3x.{\cos }^{2}3x}$$=\frac{3}{\frac{1}{4}{\sin }^{2}6x}$$=\frac{12}{{\sin }^{2}6x}$.

Cách 2: Ta biến đổi:

$y=\frac{\sin 3x}{\cos 3x}-\frac{co\mathrm{s}3x}{\sin 3x}$$=\frac{{\sin }^{2}3x-{\cos }^{2}3x}{\cos 3x.\sin 3x}$$=-\frac{2\cos 6x}{\sin 6x}$ $=-2\cot 6x$

$\Rightarrow y\text{'}=\frac{12}{{\sin }^{2}6x}$.

e) $y\text{'}=\left(\tan 2x\right)\text{'}-\frac{1}{3}\left(\cot 4x\right)\text{'}+\left(\sqrt{\sin x}\right)\text{'}=\frac{2}{{\cos }^{2}2x}+\frac{4}{3{\sin }^{2}4x}+\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y={\sin }^{2}3x+\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

b) $y=\frac{1+\sin x}{1+\cos x}$

c) $y=\tan \left(x^2+2\sqrt{x}+1\right)$

d) $y=(\sin x+\cos x)\left(3\cos x-\frac{1}{3}\sin x\right)$

Lời giải

a) $y\text{'}=2\sin 3x.\left(\sin 3x\right)\text{'}-\frac{\left({\cos }^{2}x\right)\text{'}}{{\cos }^{4}x}$$=2\sin 3x.3\cos 3x-\frac{2\cos x.\left(\cos x\right)\text{'}}{{\cos }^{4}x}$$=6\sin 3x\cos 3x+\frac{2\cos x.\sin x}{{\cos }^{4}x}$$=3\sin 6x+\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}$

b) $y\text{'}=\frac{(1+\sin x)\text{'}(1+\cos x)-(1+\cos x)\text{'}(1+\sin x)}{{(1+\cos x)}^2}$  

$=\frac{\cos x(1+\cos x)+\sin x(1+\sin x)}{{(1+\cos x)}^2}=\frac{\cos x+\sin x+1}{{(1+\cos x)}^2}$

c) $y\text{'}=\left(\tan \left(x^2+2\sqrt{x}+1\right)\right)\text{'}=\frac{\left(x^2+2\sqrt{x}+1\right)\text{'}}{{\cos }^2\left(x^2+2\sqrt{x}+1\right)}$

$=\frac{2x+\frac{1}{\sqrt{x}}}{{\cos }^2\left(x^2+2\sqrt{x}+1\right)}$$=\frac{2x\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}{\cos }^2\left(x^2+2\sqrt{x}+1\right)}$

d) $y\text{'}=(\sin x+\cos x)\text{'}\left(3\cos x-\frac{1}{3}\sin x\right)+(\sin x+\cos x)\left(3\cos x-\frac{1}{3}\sin x\right)\text{'}$

$=(\cos x-\sin x)\left(3\cos x-\frac{1}{3}\sin x\right)+(\sin x+\cos x)\left(-3\sin x-\frac{1}{3}\cos x\right)$

$=3{\cos }^{2}x-\frac{10}{3}\sin x\cos x+\frac{1}{3}{\sin }^{2}x-3{\sin }^{2}x-\frac{10}{3}\sin x\cos x-\frac{1}{3}{\cos }^{2}x$

$=\frac{8}{3}{\cos }^{2}x-\frac{8}{3}{\sin }^{2}x-\frac{20}{3}\sin x\cos x$

$=\frac{8}{3}\cos 2x-\frac{10}{3}\sin 2x$

Dạng 2. Tính đạo hàm tại một điểm.

Dạng 3. Chứng minh đẳng thức. Giải phương trình f’(x) = 0. Bất phương trình liên quan đến đạo hàm

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

a) Hàm số y = tan x thoả mãn hệ thức y’ – y² – 1 = 0.

b) Hàm số y = cot 2x thoả mãn hệ thức y’ + 2y² + 2 = 0.

Lời giải

a) Trước tiên, ta có: $y^{\text{'}}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$.

Khi đó, ta có:

$y^{\text{'}}-y^2-1$ $=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-{\tan }^{2}x-1$$=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\cos }^{2}x}=0$  (đpcm)

b) Trước tiên, ta có: $y^{\text{'}}=-\frac{2}{{\sin }^{2}2x}$.

Khi đó, ta có:

$y^{\text{'}}+2y^2+2=$$-\frac{2}{{\sin }^{2}2x}+2{\cot }^{2}2x+2$ $=-\frac{2}{{\sin }^{2}2x}+\frac{2}{{\sin }^{2}2x}=0$  (đpcm)

Ví dụ 2: Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau:

a)   y = sin 2x – 2cos x.

b)   y = 3sin 2x + 4cos 2x + 10x.

Lời giải

a) Trước tiên, ta có: y' = 2cos 2x + 2sin x.

Khi đó, phương trình có dạng:

$2\cos 2x+2\sin x=0$ $\iff \cos 2x=-\sin x=\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$ 

 $\iff \left[\begin{array}{l}2x=x+\frac{\pi }{2}+2k\pi \\ 2x=-x-\frac{\pi }{2}+2k\pi \end{array}\right.$   $\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+2k\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}\end{array}\right.$,$k\in \mathbb{Z}$.

b) Trước tiên, ta có:

y’ = 6cos 2x – 8sin 2x + 10.

Khi đó, phương trình có dạng:

$6\cos 2x-8\sin 2x+10=0$$\iff 4\sin 2x-3\cos 2x=5$

 $\iff \frac{4}{5}\sin 2x-\frac{3}{5}\cos 2x=1$

Đặt $\frac{4}{5}=\cos a$  và $\frac{3}{5}=\sin a$, do đó ta được:

$\sin 2x\cos a-\cos 2x.\sin a=1$$\iff \sin (2x-a)=1$

 $\iff 2x-a= \frac{\pi }{2}+2k\pi$$\iff x=\frac{a}{2}+ \frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Bài tập tự luyện

1. Bài tập vận dụng

Câu 1. Hàm số y  =  cotx  có đạo hàm là:

A. y’ = - tan x      

B. $y\text{'}=-\frac{1}{{\cos }^{2}x}$         

C. $y\text{'}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$          

D. y’ = 1 + cot²x

Câu 2. Hàm số $y=-\frac{3}{2}\sin 7x$ có đạo hàm là:

A. $-\frac{21}{2}\cos x$          

B. $-\frac{21}{2}\cos 7x$            

C. $\frac{21}{2}\cos 7x$             

D. $\frac{21}{2}\cos x$

Câu 3. Hàm số $y=\sin \left(\frac{\pi }{6}-3x\right)$ có đạo hàm là:

A. $3\cos \left(\frac{\pi }{6}-3x\right)$   

B. $-3\cos \left(\frac{\pi }{6}-3x\right)$     

C. $\cos \left(\frac{\pi }{6}-3x\right)$        

D. $-3\sin \left(\frac{\pi }{6}-3x\right)$.

Câu 4. Đạo hàm của hàm số y = 3sin 2x + cos 3x là:

A. y’ = 3cos 2x – sin 3x                        

B. y’ = 3cos 2x + sin 3x

C. y’ = 6cos 2x – 3sin 3x                      

D. y’ = – 6cos 2x + 3sin 3x

Câu 5. Hàm số y = x tan2x có đạo hàm là:

A. $\tan 2x+\frac{2x}{{\cos }^{2}x}$  

B. $\frac{2x}{{\cos }^{2}2x}$             

C. $\tan 2x+\frac{2x}{{\cos }^{2}2x}$

D. $\tan 2x+\frac{x}{{\cos }^{2}2x}$.

Câu 6. Đạo hàm của hàm số y = 2sin3x.cos5x có biểu thức nào sau đây?

A. 30cos3x.sin5x                                   

B. – 8cos8x + 2cos2x

C. 8cos8x – 2cos2x                                                                 

D. – 30cos3x + 30sin5x

Câu 7. Hàm số $y=\frac{\sin x}{x}$ có đạo hàm là:

A. $y\text{'}=\frac{x\sin x-\cos x}{x^2}$                                                               

B. $y\text{'}=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$

C. $y\text{'}=\frac{x\cos x+\sin x}{x^2}$                                                               

D. $y\text{'}=\frac{x\sin x+\cos x}{x^2}$

Câu 8. Hàm số $y=\frac{1}{2}\cot x^2$ có đạo hàm là:

A. $\frac{-x}{2\sin x^2}$           

B. $\frac{x}{{\sin }^2{x}^2}$               

C. $\frac{-x}{\sin x^2}$                 

D. $\frac{-x}{{\sin }^2{x}^2}$

Câu 9. Hàm số y = tan x – cot x có đạo hàm là:

A. $y^{\text{'}}=\frac{1}{{\sin }^{2}2x}$       

B. $y^{\text{'}}=\frac{4}{{\cos }^{2}2x}$         

C. $y^{\text{'}}=\frac{4}{{\sin }^{2}2x}$           

D. $y^{\text{'}}=\frac{1}{{\cos }^{2}2x}$

Câu 10. Đạo hàm của hàm số $y=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}$ có biểu thức dạng $\frac{a}{{(\sin x-\cos x)}^2}$.

Vậy giá trị a là:

A. a  =  1              

B. a  =  – 2               

C. a  =  3                  

D. a  =  2

Câu 11. Cho hàm số $y=\sin \sqrt{2+x^2}$. Đạo hàm y' của hàm số là

A. $\frac{2x+2}{\sqrt{2+x^2}}\cos \sqrt{2+x^2}$                            

B. $-\frac{x}{\sqrt{2+x^2}}\cos \sqrt{2+x^2}$

C. $\frac{x}{\sqrt{2+x^2}}\cos \sqrt{2+x^2}$                            

D. $\frac{(x+1)}{\sqrt{2+x^2}}\cos \sqrt{2+x^2}$

Câu 12. Đạo hàm của hàm số $y={\sin }^{2}2x.\cos x+\frac{2}{\sqrt{x}}$ là

A. $y^{\text{'}}=2\sin 2x.\cos x-\sin x.{\sin }^{2}2x-2\sqrt{x}$                                 

B. $y^{\text{'}}=2\sin 2x.\cos x-\sin x.{\sin }^{2}2x-2\sqrt{x}$

C. $y^{\text{'}}=2\sin 4x.\cos x+\sin x.{\sin }^{2}2x-\frac{1}{x\sqrt{x}}$                                

D. $y^{\text{'}}=2\sin 4x.\cos x-\sin x.{\sin }^{2}2x-\frac{1}{x\sqrt{x}}$

Câu 13. Cho hàm số $y=f\left(x\right)={\sin }^{3}5x.{\cos }^2\frac{x}{3}$. Giá trị đúng của $f^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{2}\right)$bằng

A. $-\frac{\sqrt{3}}{6}$               

B. $-\frac{\sqrt{3}}{4}$                   

C. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$                   

D. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Câu 14. Cho hàm số y = cos²x + sin x. Phương trình y' = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $(0;\pi )$

A. 1 nghiệm          

B. 2 nghiệm              

C. 3 nghiệm             

D. 4 nghiệm

Câu 15. Cho hàm số y = sin 2x + x. Số nào sau đây là nghiệm của phương trình y’ = 0  trong khoảng $(-\pi ;\pi )$

A. $-\frac{\pi }{6}$ và $\frac{\pi }{6}$         

B. $-\frac{\pi }{3}$ và $\frac{\pi }{3}$            

C. $-\frac{\pi }{6}$ và $\frac{7\pi }{12}$           

D. $-\frac{\pi }{3}$ và $\frac{\pi }{6}$

BẢNG ĐÁP ÁN

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

200 Bài tập Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án năm 2023)

100 Bài tập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án năm 2023)

500 Bài tập Toán 10 bất phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập về Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit (2024) có đáp án

Bất phương trình bậc nhất một ẩn (có đáp án năm 2023)