60 Bài tập về Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit (2024) có đáp án - Toán 12

Tổng hợp các dạng bài tập về

Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

(Toán 12)

 Lý thuyết và phương pháp giải

1. Bất phương trình mũ

a. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a^x > b ( hoặc a^x < b; $a^x\ge b; a^x\le b$) với a > 0 và a ≠ 1.

Ta xét bất phương trình a^x > b

+ Nếu b ≤ 0 tập nghiệm của bất phương trình là  vì a^x > 0$\ge b;\forall x\in ℝ$

+ Nếu b > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình tương đương $a^x>a^{{\log }_{a}b}$.

Với a > 1, tập nghiệm của bất phương trình là x > log_ab.

Với 0 <  a < 1, tập nghiệm của bất phương trình là x < log_ab.

– Ví dụ 1.

a) 5^x  >  125$\iff$x > log₅125$\iff$x >  3.

b) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x>27$$\iff x<{\log }_{\frac{1}{3}}27$$\iff x<-3$

Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình a^x > b được cho trong bảng sau:

b. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản

* Đưa về cùng cơ số

Ví dụ: Giải phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x-1}=2^{3x}$

Ta có:

$\begin{array}{l}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x-1}=2^{3x}\\ \iff 2^{-2x+1}=2^{3x}\\ \iff -2x+1=3x\\ \iff 1=5x\\ \iff x={\displaystyle \frac{1}{5}}\end{array}$

* Đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình $4^x-2^{x+1}+1=0$.

Ta có:

$\begin{array}{l}{4}^x-2^{x+1}+1=0\\ \iff {\left(2^x\right)}^2-{2.2}^x+1=0\end{array}$

Đặt $t=2^x>0$ ta được:

$\begin{array}{l}{t}^2-2t+1=0\\ \iff {\left(t-1\right)}^2=0\\ \iff t-1=0\\ \iff t=1\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 2^x=1\\ \iff x={\log }_{2}1\\ \iff x=0\end{array}$

* Logarit hóa

Ví dụ: Giải phương trình $3^x{.2}^{x^2}=1$.

Logarit hai vế cơ số $3$ ta được:

$\begin{array}{l}{\log }_3\left(3^x{.2}^{x^2}\right)={\log }_{3}1\\ \iff {\log }_3{3}^x+{\log }_3{2}^{x^2}=0\\ \iff x+x^2{\log }_{3}2=0\\ \iff x\left(1+x{\log }_{3}2\right)=0\\ \iff [\begin{array}{l}x=0\\ 1+x{\log }_{3}2=0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=-{\displaystyle \frac{1}{{\log }_{3}2}}=-{\log }_{2}3\end{array}\end{array}$

2. Bất phương trình logarit

a. Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log_a x > b (hoặc log_ax < 0; ${\log }_{a}x\le 0;$$\hspace{0.17em}{\log }_{a}x\ge 0$) với a > 0; a ≠ 1.

Xét bất phương trình log_ax > b

+ Trường hợp a > 1 ta có: log_ax > b$\iff$x > a^b.

+ Trường hợp 0 < a < 1 ta có: log_ax > b$\iff$0 < x < a^b.

– Ví dụ 3.

a) log₂x > 7$\iff$x > 2⁷.

b) ${\log }_{\frac{2}{5}}x<3$$\hspace{0.17em}\iff x\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}>{\left(\frac{2}{5}\right)}^3$

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình log_ax > b được cho trong bảng sau:

b.  Cách giải một số phương trình logarit

* Đưa về cùng cơ số

Ví dụ: Giải phương trình ${\log }_{2}x+{\log }_{4}x=1$

Ta có:

$\begin{array}{l}{\log }_{2}x+{\log }_{4}x=1\\ \iff {\log }_{2}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_{2}x=1\\ \iff {\displaystyle \frac{3}{2}}{\log }_{2}x=1\\ \iff {\log }_{2}x={\displaystyle \frac{2}{3}}\\ \iff x=2^{\frac{2}{3}}\\ \iff x=\sqrt[3]{4}\end{array}$

*  Đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình ${\displaystyle \frac{1}{\ln x}}+{\displaystyle \frac{1}{\ln x-1}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$.

ĐK: $\{\begin{array}{l}x>0\\ \ln x\ne 0\\ \ln x\ne 1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0\\ x\ne 1\\ x\ne e\end{array}$

Đặt $t=\ln x\left(t\ne 0,t\ne 1\right)$ ta được:

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{t}}+{\displaystyle \frac{1}{t-1}}={\displaystyle \frac{5}{6}}\\ \iff {\displaystyle \frac{6t-6+6t}{6t\left(t-1\right)}}={\displaystyle \frac{5t\left(t-1\right)}{6t\left(t-1\right)}}\\ \Rightarrow 12t-6=5t^2-5t\\ \iff 5t^2-17t+6=0\\ \iff [\begin{array}{l}t=3\\ t={\displaystyle \frac{2}{5}}\end{array}\left(TM\right)\\ \Rightarrow [\begin{array}{l}\ln x=3\\ \ln x={\displaystyle \frac{2}{5}}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x=e^3\\ x=e^{\frac{2}{5}}\end{array}\left(TM\right)\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{e^3;e^{\frac{2}{5}}\right\}$.

* Mũ hóa

Ví dụ: Giải phương trình ${\log }_3\left(3-3^x\right)=1+x$

ĐK: $3-3^x>0\iff 3^x<3\iff x<1$

Ta có:

$\begin{array}{l}{\log }_3\left(3-3^x\right)=1+x\\ \iff 3-3^x=3^{1+x}\\ \iff 3-3^x={3.3}^x\\ \iff 3={4.3}^x\\ \iff 3^x={\displaystyle \frac{3}{4}}\\ \iff x={\log }_3{\displaystyle \frac{3}{4}}\\ \iff x=1-{\log }_{3}4\left(TM\right)\end{array}$

Các dạng bài tập về bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

(Xem trong file pdf)

Dạng 1. Phương pháp biến đổi tương đương đưa về cùng cơ số.

Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ.

Dạng 3. Phương pháp logarit hóa.

Dạng 4. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu.

Bài tập vận dụng (có đáp án)

Bài 1: Tìm tập nghiệm của bất phương trình log(x - 21) < 2 - logx

Lời giải:

Bài 2: Tìm miền xác định của hàm số

Lời giải:

Hàm số xác định khi

Bài 3: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = x²lnx

Lời giải:

Tập xác định: D = (0; +∞)

y' = 2xlnx + x².$\frac{1}{x}$ = x(2lns + 1).

Ta thấy:

y' > 0 ⇔ x(2lnx + 1) > 0 ⇔ 2lnx + 1 > 0 (vì x > 0)

Từ đó khoảng đồng biến của hàm số là

Bài 4: Một tàu vũ trụ được cung cấp bởi một nguồn điện đồng vị phóng xạ plutoni-238. Công suất đầu ra của nguồn điện này được ước lượng bởi

trong đó t là số năm kể từ khi con tàu hoạt động. Biết rằng để các thiết bị trên tàu hoạt động bình thường, nguồn cần cung cấp công suất tối thiểu là 600W. Hỏi con tàu đủ điện để các thiết bị hoạt động bình thường trong thời gian bao lâu ?

Lời giải:

Bài 5: Dân số Việt Nam năm 2015 là 91,71 triệu người. Giả sử trong 5 năm tỉ lệ tăng dân số là không đổi. Hỏi tỉ lệ này có thể nhận giá trị tối đa là bao nhiêu để dân số Việt Nam năm 2020 không vượt quá 96,5 triệu người (làm tròn kết quả đến phần chục nghìn) ?

Lời giải:

Bài tập tự luyện (có hướng dẫn)

(Xem trong file pdf)

Xem thêm các dạng bài tập Toán chi tiết và hay khác: