30 Bài toán xác định min max của hàm số trên đoạn (2024) có đáp án, chi tiết nhất

Bài toán xác định min max của hàm số trên đoạn

I. Kiến thức cần nhớ

1. Giá trị lớn nhất

Định nghĩa:

Số $M$ gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên D nếu

$i)\mathrm{\forall }x\in D:f(x)\le M$

$ii)\mathrm{\exists }{x}_0\in D:f(x_0)=M$

Kí hiệu $M=\underset{x\in D}{max}f(x)$.

2. Giá trị nhỏ nhất

Định nghĩa:

Số $m$ gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên D nếu

$i)\mathrm{\forall }x\in D:f(x)\ge m$

$ii)\mathrm{\exists }{x}_0\in D:f(x_0)=m$

Kí hiệu $m=\underset{x\in D}{min}f(x)$.

2. Cách tìm GTLN và GTNN của hàm số trên 1 đoạn.

Định lý 1: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trong 1 đoạn

Nhận xét. Nếu hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$ giữ nguyên dấu trên đoạn $\left[a;b\right]$thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn . Do đó, $f\left(x\right)$ đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn.

Quy tắc: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\left[a;b\right]$ta làm như sau

B1: Tính $f^{\prime }\left(x\right)$ và tìm các điểm $x_1,x_2,\dots ,x_n$ mà tại đó $f^{\prime }\left(x\right)=0$ hoặc hàm số $f^{\prime }\left(x\right)$ không xác định.

B2: Tính các giá trị $f(x_1),f(x_2),\dots ,f(x_n),f(a),f(b)$.

B3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó

$M=\underset{\left[a;b\right]}{max}f(x)$; $m=\underset{\left[a;b\right]}{min}f(x)$

* Hàm số liên tục trên 1 khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.

II. Các dạng bài tập

Lý thuyết về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn.

Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng.

Sử dụng GTLN, GTNN để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.

Sử dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất để chứng minh bất đẳng thức.

Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số vào bài toán thực tế.

Một số ứng dụng sự biến thiên của hàm số.

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA 2021) Cho hàm số $f\left(x\right)$, đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số $g\left(x\right)=f\left(2x\right)–4x$ trên đoạn $\left[–\frac{3}{2};2\right]$ bằng

A. $f\left(0\right)$. B. $f\left(–3\right)+6$. C. $f\left(2\right)–4$. D. $f\left(4\right)–8$.

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn.

2. HƯỚNG GIẢI:

Cách 1.

B1: Đạo hàm – tìm nghiệm của đạo hàm (đặt ẩn phụ nếu cần)

B2: Lập bảng biến thiên tìm ra giá trị lớn nhất – nhỏ nhất

Cách 2.

Dùng định nghĩa

$\{\begin{array}{l}f(x)\le M,\mathrm{\forall }x\in D\\ \mathrm{\exists }{x}_0\in D,f(x_0)=M\end{array}$ thì $M=\underset{D}{max}f(x)$

$\{\begin{array}{l}f(x)\ge m,\mathrm{\forall }x\in D\\ \mathrm{\exists }{x}_0\in D,f(x_0)=m\end{array}$ thì $m=\underset{D}{min}f(x)$

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

Chọn C

Ta có: $g^{\prime }\left(x\right)=2f^{\prime }\left(2x\right)–4$.

$g^{\prime }\left(x\right)=0\iff 2f^{\prime }\left(2x\right)–4=0\iff f^{\prime }\left(2x\right)=2\iff [\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}2x=x_1<–3\\ 2x=0\end{array}\\ 2x=2\end{array}\\ 2x=x_2>4\end{array}\iff [\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=x_1<–\frac{3}{2}\\ x=0\end{array}\\ x=1\end{array}\\ x_2>2\end{array}$

Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=g\left(x\right)$:

Từ bảng biến thiên ta có: trên $\left[–\frac{3}{2};2\right]$ hàm số $g\left(x\right)=f\left(2x\right)–4x$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=1$ và $\underset{\left[–\frac{3}{2};1\right]}{max}y=f\left(2\right)–4$.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Câu 1. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị $f^{\prime }\left(x\right)$ như hình vẽ

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left(x\right)=f\left(x\right)+\frac{1}{3}{x}^3–x$ trên đoạn $\left[–1;2\right]$ bằng

A.$f\left(2\right)+\frac{2}{3}$. B. $f\left(–1\right)+\frac{2}{3}$. C. $\frac{2}{3}$. D. $f\left(1\right)–\frac{2}{3}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có $g\left(x\right)=f\left(x\right)+\frac{1}{3}{x}^3–x$$\Rightarrow g^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)+x^2–1$

$g^{\prime }\left(x\right)=0\iff f^{\prime }\left(x\right)=–x^2+1\iff x=\pm 1$

Bảng biến thiên

Từ BBT ta thấy $\underset{\left[–1;2\right]}{min}g\left(x\right)=g\left(1\right)=f\left(1\right)–\frac{2}{3}$.

Câu 2. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ như hình vẽ

Đặt $g\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3–x–f\left(x\right)+2020$. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left(x\right)$ trên đoạn $\left[–\sqrt{3};\sqrt{3}\right]$. Hãy tính $M+m.$

A. $f\left(\sqrt{3}\right)+f\left(–\sqrt{3}\right)$. B. $f\left(\sqrt{3}\right)–f\left(–\sqrt{3}\right)$.

C. $2020+f\left(–\sqrt{3}\right)$. D. $4040–f\left(\sqrt{3}\right)–f\left(–\sqrt{3}\right)$.

Lời giải

Chọn D

Xét $g\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3–x–f\left(x\right)+2020$, với $x\in \left[–\sqrt{3};\sqrt{3}\right]$.

Ta có $g^{\prime }\left(x\right)=x^2–1–f^{\prime }\left(x\right)$.

$g^{\prime }\left(x\right)=0$$\iff$$f^{\prime }\left(x\right)=x^2–1$$\iff$$[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \sqrt{3}\end{array}$.

Bảng biến thiên của hàm số $g\left(x\right)$

Do đó

$M=\underset{\left[–\sqrt{3};\sqrt{3}\right]}{max}g\left(x\right)=g\left(\sqrt{3}\right)=–f\left(\sqrt{3}\right)+2020$,

$m=\underset{\left[–\sqrt{3};\sqrt{3}\right]}{min}g\left(x\right)=g\left(–\sqrt{3}\right)=–f\left(–\sqrt{3}\right)+2020$.

Vậy $M+m=–f\left(\sqrt{3}\right)–f\left(–\sqrt{3}\right)+4040.$

Câu 3. Cho hàm số $f(x)$. Biết hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình bên. Trên đoạn $[–4;3]$,hàm số$g(x)=2f(x)+(1–x{)}^2$đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm.

A. $x_0=–1$. B. $x_0=3$. C. $x_0=–4$. D. $x_0=–3$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $g(x)=2f(x)+(1–x{)}^2$$\Rightarrow g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)–2(1–x)=2[f^{\prime }(x)–(1–x)]$

$g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x)=1–x\iff [\begin{array}{l}x=–4\\ x=–1\\ x=3\end{array}$.

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra $g(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[–4;3]$ tại $x_0=–1$

Ta có:$g(x)=2f(x)+(1–x{)}^2$$\Rightarrow g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)–2(1–x)=2[f^{\prime }(x)–(1–x)]$

Vì trong đoạn $[–4;–1]$ đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ nằm phía dưới đồ thị hàm số $y=1–x$

$\Rightarrow f^{\prime }(x)<1–x\mathrm{\forall }x\in [–4;–1]\Rightarrow g^{\prime }(x)<0\mathrm{\forall }x\in [–4;–1]\Rightarrow g(x)$ nghịch biến trên $(–4;–1)$

$\Rightarrow g(–4)>g(–3)>g(–1)$ $(\ast )$

Vì trong đoạn $[–1;3]$ đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ nằm phía trên đồ thị hàm số $y=1–x$

$\Rightarrow f^{\prime }(x)>1–x\mathrm{\forall }x\in [–1;3]\Rightarrow g^{\prime }(x)>0\mathrm{\forall }x\in [–1;3]\Rightarrow g(x)$ đồng biến trên $(–1;3)$

$\Rightarrow g(3)>g(–1)$ $(\ast \ast )$

Từ $(\ast )$ và $(\ast \ast )$ suy ra $g(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[–4;3]$ tại $x_0=–1$

Câu 4. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ như hình vẽ dưới đây.

Xét hàm số $g\left(x\right)=2f\left(x\right)–{\left(x+1\right)}^2$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $\underset{\left[–3;3\right]}{min}g\left(x\right)=g\left(1\right)$. B. $\underset{\left[–3;3\right]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}g\left(x\right)=g\left(1\right)$.

C. $\underset{\left[–3;3\right]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}g\left(x\right)=g\left(3\right)$. D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left(x\right)$ trên $\left[–3;3\right]$.

Lời giải

Chọn B

$g^{\prime }\left(x\right)=2f^{\prime }\left(x\right)–2\left(x+1\right)=0\iff f^{\prime }\left(x\right)=x+1(\ast )$.

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ ta thấy đường thẳng $y=x+1$ cắt đồ thị hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ tại ba điểm lần lượt có hoành độ là: $–3;1;3$. Do đó phương trình $(\ast )\iff [\begin{array}{l}x=–3\\ x=1\\ x=3\end{array}$.

Bảng biến thiên của hàm số $y=g\left(x\right)$

Vậy $\underset{\left[–3;3\right]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}g\left(x\right)=g\left(1\right)$.

Câu 5. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số đạo hàm $y=f^{\prime }\left(x\right)$ như hình vẽ.

Xét hàm số $g\left(x\right)=f\left(x\right)–\frac{1}{3}{x}^3–\frac{3}{4}{x}^2+\frac{3}{2}x+2021$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\underset{\left[–3;1\right]}{min}g\left(x\right)=g\left(–3\right)$. B. $\underset{\left[–3;1\right]}{min}g\left(x\right)=g\left(1\right)$.

C. $\underset{\left[–3;1\right]}{min}g\left(x\right)=g\left(–1\right)$. D. $\underset{\left[–3;1\right]}{min}g\left(x\right)=\frac{g\left(–3\right)+g\left(1\right)}{2}$.

Lời giải

Chọn C

Ta có: $g^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)–x^2–\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$;

$g^{\prime }\left(x\right)=0\iff f^{\prime }\left(x\right)=h\left(x\right)=x^2+\frac{3}{2}x–\frac{3}{2}$

$\iff [\begin{array}{l}x=–3\\ x=–1\\ x=1\end{array}$.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $\underset{\left[–3;1\right]}{min}g\left(x\right)=g\left(–1\right)$.

Câu 6. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ như hình vẽ bên. Gọi $g\left(x\right)=f\left(x\right)–\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+x–2019$. Biết $g\left(–1\right)+g\left(1\right)>g\left(0\right)+g\left(2\right)$.

Với $x\in \left[–1;2\right]$ thì $g\left(x\right)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng

A. $g\left(2\right)$. B. $g\left(1\right)$. C. $g\left(–1\right)$. D. $g\left(0\right)$.

Lời giải

Chọn A

+ Xét hàm số $g\left(x\right)=f\left(x\right)–\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+x–2019$ trên đoạn $\left[–1;2\right]$.

+ Ta có $g^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)–x^2+x+1$.

Vẽ đồ thị hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ và Parabol $\left(P\right):y=x^2–x–1$ trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ.

+ Ta thấy $g^{\prime }\left(x\right)=0\iff f^{\prime }\left(x\right)=x^2–x–1$$\iff [\begin{array}{l}x=–1\\ x=0\\ x=2\end{array}$.

+ Bảng biến thiên :

+ Từ giả thiết $g\left(–1\right)+g\left(1\right)>g\left(0\right)+g\left(2\right)$

$\iff g\left(–1\right)–g\left(2\right)>g\left(0\right)–g\left(1\right)$

$\Rightarrow g\left(–1\right)–g\left(2\right)>0$ (vì $g\left(0\right)>g\left(1\right)$)

$\iff g\left(–1\right)>g\left(2\right)$.

Vậy $\underset{\left[–1;2\right]}{min}g\left(x\right)=g\left(2\right)$.

Câu 7. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$. Hàm số$y=f^{\prime }\left(x\right)$ liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ.

Biết $f\left(–1\right)=\frac{13}{4},f\left(2\right)=6$. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left(x\right)=f^3\left(x\right)–3f\left(x\right)$ trên $\left[–1;2\right]$ bằng

A. $\frac{1573}{64}$ B. $198$. C. $\frac{37}{4}$. D. $\frac{14245}{64}$.

Lời giải

Chọn D

Từ đồ thị hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ ta có bảng biến thiên

Ta có $g^{\prime }\left(x\right)=3f^2\left(x\right).f^{\prime }\left(x\right)–3f^{\prime }\left(x\right)$.

Xét trên đoạn $\left[–1;2\right]$ ta có $g^{\prime }\left(x\right)=0\iff 3f^{\prime }\left(x\right)\left[f^2\left(x\right)–1\right]=0\iff f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=–1\\ x=2\end{array}$.

$g\left(–1\right)=\frac{1573}{64}$, $g\left(2\right)=198$.

Từ đó suy ra $\underset{\left[–1;2\right]}{max}g\left(x\right)=198,\underset{\left[–1;2\right]}{min}g\left(x\right)=\frac{1573}{64}$.

Vậy $\underset{\left[–1;2\right]}{max}g\left(x\right)+\underset{\left[–1;2\right]}{min}g\left(x\right)=\frac{14245}{64}$.

Câu 8. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g\left(x\right)=f\left(4x–x^2\right)+\frac{1}{3}{x}^3–3x^2+8x+\frac{1}{3}$ trên đoạn $\left[1;3\right]$.

A. 15. B. $\frac{25}{3}$. C. $\frac{19}{3}$. D. 12.

Lời giải

Chọn D

$g^{\prime }\left(x\right)=\left(4–2x\right)f^{\prime }\left(4x–x^2\right)+x^2–6x+8$$=\left(2–x\right)\left[2f^{\prime }\left(4x–x^2\right)+4–x\right]$.

Với $x\in \left[1;3\right]$ thì $4–x>0$; $3\le 4x–x^2\le 4$ nên $f^{\prime }\left(4x–x^2\right)>0$.

Suy ra $2f^{\prime }\left(4x–x^2\right)+4–x>0$, $\mathrm{\forall }x\in \left[1;3\right]$.

Bảng biến thiên

Suy ra $\underset{\left[1;3\right]}{max}g\left(x\right)=g\left(2\right)$$=f\left(4\right)+7=12$.

Câu 9. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm cấp 2 trên $\mathbb{R}$, hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left(\frac{\sin x+\sqrt{3}\cos x}{2}\right)$ trên đoạn $\left[–\frac{5\pi }{6};\frac{\pi }{6}\right]$ bằng

A. $f\left(–\frac{5\pi }{6}\right)$. B. $f\left(–\frac{\pi }{3}\right)$. C. $f\left(0\right)$. D. $f\left(\frac{\pi }{6}\right)$.

Lời giải

Chọn B

Đặt $t=\frac{\sin x+\sqrt{3}\cos x}{2}=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$.

Vì $x\in \left[–\frac{5\pi }{6};\frac{\pi }{6}\right]\Rightarrow x+\frac{\pi }{3}\in \left[–\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]\Rightarrow t\in \left[–1;1\right]$.

Dựa vào đồ thị của hàm số $f^{\prime }\left(x\right)$, ta có bảng biến thiên

Ta có: $\underset{\left[–\frac{5\pi }{6};\frac{\pi }{6}\right]}{max}f\left(\frac{\sin x+\sqrt{3}\cos x}{2}\right)=\underset{\left[–1;1\right]}{max}f\left(t\right)$ $\iff t=0\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=0\iff x=–\frac{\pi }{3}$.

Vậy $\underset{\left[–\frac{5\pi }{6};\frac{\pi }{6}\right]}{max}f\left(\frac{\sin x+\sqrt{3}\cos x}{2}\right)=f\left(–\frac{\pi }{3}\right)$.

Câu 10. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$, hàm số $f^{\prime }\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left(x\right)=\frac{1}{2}f\left(2x–1\right)+\frac{11}{19}{\left(2x–1\right)}^2–4x$ trên khoảng $\left[0;\frac{5}{2}\right]$ bằng

A. $\frac{1}{2}f\left(1\right)+\frac{11}{19}$. B. $\frac{1}{2}f\left(4\right)–\frac{‘14}{19}$.

C. $\frac{1}{2}f\left(0\right)–2$. D. $\frac{1}{2}f\left(2\right)–\frac{70}{19}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có $g^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(2x–1\right)+\frac{44}{19}\left(2x–1\right)–4=0$$\iff f^{\prime }\left(2x–1\right)=–\frac{44}{19}\left(2x–1\right)+4$.

Đặt $t=2x–1\Rightarrow f^{\prime }\left(t\right)=–\frac{44}{19}t+4$ với $0\le x\le \frac{5}{2}\Rightarrow –1\le t\le 4$.

Từ đồ thị ta có $f^{\prime }\left(t\right)=–\frac{44}{19}t+4\iff [\begin{array}{l}t=0\\ t=2\end{array}$.

Lập bảng biến thiên hàm số $g\left(t\right)$ Giá trị nhỏ nhất hàm số đạt được khi $t=2\iff x=\frac{3}{2}$.

suy ra ${\left(g\left(x\right)\right)}_{min}=\frac{1}{2}f\left(2\right)–\frac{70}{19}$.

Câu 11. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $y=f^{\prime }(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ trên đoạn $\left[–2;6\right]$ như hình vẽ bên.

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. $\underset{\left[–2;6\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(–2\right)$. B. $\underset{\left[–2;6\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(2\right)$.

C. $\underset{\left[–2;6\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(6\right)$. D. $\underset{\left[–2;6\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(–1\right)$.

Lời giải

Chọn C

Lập bảng biến thiên của hàm số trên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số đồng biến trên $\left(–2;–1\right)$ và $\left(2;6\right)$.

Suy ra $f\left(–1\right)>f\left(–2\right)$ và $f\left(6\right)>f\left(2\right)$(1)

Hàm số nghịch biến trên $\left(–1;2\right)$suy ra $f\left(–1\right)>f\left(2\right)$.

Từ (1) và (2) suy ra :

$\underset{\left[–2;6\right]}{max}f(x)=max\left\{f(–2);f(–1);f(2);f(6)\right\}=max\left\{f(–1);f(6)\right\}$

Ta có : $S_1=–\underset{–1}{\overset{2}{\int }}{f}^{\prime }\left(x\right)dx=f\left(–1\right)–f\left(2\right)$

$S_2=\underset{2}{\overset{6}{\int }}{f}^{\prime }\left(x\right)dx=f\left(6\right)–f\left(2\right)$

Theo hình vẽ ta thấy $S_1<S_2$ nên $f\left(–1\right)–f\left(2\right)<f\left(6\right)–f\left(2\right)$$\Rightarrow f\left(–1\right)<f\left(6\right)$.

Vậy $\underset{\left[–2;6\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(6\right)$.

Câu 12. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên trên đoạn $\left[–1;4\right]$ như sau:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left|f\left(x\right)\right|$ trên đoạn đoạn $\left[–1;4\right]$ bằng

A. $4$. B. $24$. C. $8$. D. $0$.

Lời giải

Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $\underset{\left[–1;4\right]}{min}f\left(x\right)=–24\iff x=–1$; $\underset{\left[–1;4\right]}{max}f\left(x\right)=–4\iff x=1\vee x=4$.

Do đó, $\underset{\left[–1;4\right]}{max}\left|f\left(x\right)\right|=24\iff x=–1$.

Câu 13. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Gọi $M$và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $g\left(x\right)=f\left(2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+3\right)$ trên $\mathbb{R}.$ Giá trị của $M+m$ bằng

A. $6.$ B. $8.$ C. $4.$ D. $5.$

Lời giải

Chọn A

Đặt $t=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+3=\sin x+3.$ Ta có: $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\Rightarrow t\in \left[2;4\right].$

Từ đồ thị ta thấy: $\mathrm{\forall }t\in \left[2;4\right]\Rightarrow 1\le f\left(t\right)\le 5\Rightarrow \{\begin{array}{l}M=\underset{\mathbb{R}}{max}g\left(x\right)=5\\ m=\underset{\mathbb{R}}{min}g\left(x\right)=1\end{array}\Rightarrow M+m=6.$.

Câu 14. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình $f\left(\sqrt{x–1}+1\right)\le m$ có nghiệm là

A. $m\ge 1$. B. $m\ge –2$. C. $m\ge 4$. D. $m\ge 0$.

Lời giải

Chọn B

Xét hàm số $f\left(\sqrt{x–1}+1\right)$. Đặt $t=\sqrt{x–1}+1\ge 1,\mathrm{\forall }x\ge 1$

Khi đó: $f\left(\sqrt{x–1}+1\right)\le m$ có nghiệm khi và chỉ khi $f\left(t\right)\le m,t\in \left[1;+\mathrm{\infty }\right)$có nghiệm

Từ bảng biến thiên ta thấy $f\left(t\right)\le m,t\in \left[1;+\mathrm{\infty }\right)$có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge –2.$

Câu 15. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$. Hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình $f\left(x\right)<x^3+m$ đúng với mọi $x\in \left(–1;1\right)$ khi và chỉ khi

A. $m>f\left(x\right)+1$. B. $m\ge f\left(–1\right)–1$. C. $m\ge f\left(–1\right)+1$. D. $m>f\left(1\right)–1$.

Lời giải

Chọn C

$f\left(x\right)<x^3+m\iff m>f\left(x\right)–x^3$$\left(1\right)$.

Xét $g\left(x\right)=f\left(x\right)–x^3$.

$g^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)–3x^2<0,\mathrm{\forall }x\in \left(–1;1\right)$ vì $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x\right)<f^{\prime }\left(1\right)=0,\mathrm{\forall }x\in \left(–1;1\right)\\ –3x^2\le 0,\mathrm{\forall }x\in \left(–1;1\right)\end{array}$

$\Rightarrow$ Hàm số $y=g\left(x\right)$ nghịch biến trên $\left(–1;1\right)$$\Rightarrow g\left(1\right)<g\left(x\right)<g\left(–1\right)$, $\mathrm{\forall }x\in \left(–1;1\right)$.

$\left(1\right)$ đúng với mọi $x\in \left(–1;1\right)$ $\iff$ $m\ge g\left(–1\right)=f\left(–1\right)+1$.

Câu 16. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị trên đoạn $\left[0;4\right]$ như hình vẽ bên dưới

Đặt $M=maxf\left(\sqrt{4–x^2}\right),m=minf\left(\sqrt{4–x^2}\right)$. Tổng $M+m$ bằng

A. $3$. B. $6$. C. $4$. D. $5$.

Lời giải

Chọn A

Đặt $t=\sqrt{4–x^2}$. Khi đó $\mathrm{\forall }x\in \left[–2;2\right]$ thì $t\in \left[0;2\right]$.

Xét hàm số $y=f\left(t\right)$ trên đoạn $\left[0;2\right]$ ta thấy $M=\underset{\left[0;2\right]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}f\left(t\right)=3$ và $m=\underset{\left[0;2\right]}{min}f\left(t\right)=0$.

Vậy $M+m=3$.

Câu 17. Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình bên. Tồn tại bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f(\sin x)=m$ có đúng hai nghiệm thuộc đoạn $[0;\pi ]?$

A. $4$. B.$7$. C.$5$. D. $6$.

Lời giải

Chọn C

Đăt $t=\sin x,$ để phương trình $f(\sin x)=m$ có đúng hai nghiệm $x\in [0;\pi ]$ thì phương trình $f(t)=m$ có đúng môt nghiệm $t\in [0:1).$ Dựa vào đồ thị ta có $m\in [–7;–2),$ do $m$ nguyên nên $m\in \{–7:–6;–5;–4;–3\}.$ Vậy có 5 giá trị.

Xem thêm các dạng bài tập hay, có đáp án:

30 Bài tập về Cách tìm nguyên hàm của hàm số mũ, hàm số logarit (2024) cực hay, có đáp án

40 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần (2024) cực hay

60 Bài tập về Hàm số mũ, Hàm số logarit (2024) có đáp án - Toán 12

30 Bài tập Tính tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ (2024) cực hay, có đáp án

30 Bài tập Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác bằng phương pháp đổi biến số (2024) cực hay, có đáp án