60 Bài tập về Hàm số mũ, Hàm số logarit (2024) có đáp án - Toán 12

Hàm số mũ, Hàm số logarit

Lý thuyết

1. Hàm số mũ

a. Định nghĩa.

Cho số thực dương a khác 1.

Hàm số y = a^x được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Ví dụ 1. Các hàm số y = 2^x; $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x;y={\left(\sqrt{3}\right)}^x$ là các hàm số mũ.

b. Đạo hàm của hàm số mũ

Ta thừa nhận công thức: $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{e^t-1}{t}=1$

– Định lí 1: Hàm số y = e^x có đạo hàm tại mọi x và (e^x)’ = e^x.

– Chú ý: Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số e^u ( với u = u(x))

là (e^u)’ = u’. e^u.

– Định lí 2: Hàm số y = a^x ( a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x và: (a^x)’ = a^x. ln a

– Chú ý:  Đối với hàm hợp y = a^u(x) ta có: (a^u)’ = a^u. lnu . u’

Ví dụ 2. Hàm số $y=2^{-x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x-10}$ có đạo hàm là:

$$\begin{gathered} y\text{'}=2^{-x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x-10}.(-x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x-10)\text{'}.\ln 2 \\ =2^{-x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x-10}.(-2x+\text{}2)\ln 2 \end{gathered}$$

c. Khảo sát hàm số mũ y = a^x ( a > 0 và a ≠ 1).

d. Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ y = a^x ( a > 0; a ≠ 1).

2. Hàm số logarit

a. Định nghĩa.

Cho số thực dương a khác 1.

Hàm số y = log_ax được gọi là hàm số logarit cơ số a.

Ví dụ 3. Các hàm số y = log₅ x; $y={\log }_{\frac{2}{3}}x;y={\log }_{\sqrt{3}}x$; y = ln x là các hàm số logarit với cơ số lần lượt là $5;\frac{2}{3};\sqrt{3}$ và e.

b. Đạo hàm của hàm số logarit

– Định lí 3. Hàm số y = log_a x (a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x > 0 và $\left({\log }_{a}x\right)\text{'}=\frac{1}{x\ln a}$

– Đặc biệt: $\left(\ln x\right)\text{'}=\frac{1}{x}$

– Chú ý:

 Đối với hàm hợp y = log_au(x); ta có: $\left({\log }_{a}u\right)\text{'}=\frac{u\text{'}}{u\ln a}$

– Ví dụ 4. Hàm số y = log₄ (x² + 2x – 7) có đạo hàm là:

$$\begin{gathered} \left({\log }_4\right(x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2x-7\left)\right)\text{'} \\ =\frac{(x^2+2x-7)\text{'}}{(x^2+2x-7)\ln 4} \\ =\frac{2x+2}{(x^2+2x-7)\ln 4} \end{gathered}$$

c. Khảo sát hàm số logarit y = log_a x ( a > 0; a ≠ 1).

d. Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số y = log_ax (a > 0;  a ≠ 1 ).

 Nhận xét:

 Đồ thị của các hàm số y = a^x và y = log_a x ( a > 0; a ≠ 1) đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

e. Bảng đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ, logarit.

Các dạng bài tập về Hàm số mũ, Hàm số logarit

(Xem trong file pdf)

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số chứa mũ – lôgarit.

Dạng 2. Đồ thị hàm số mũ – lôgarit.

Dạng 3. Xét tính đơn điệu, cực trị, GTLN và GTNN của hàm số mũ – logarit.

Dạng 4. Tìm GTLN và GTNN của hàm số mũ – logarit nhiều biến.

Dạng 5. Bài toán lãi suất.

Bài tập

1. Bài tập vận dụng (Có đáp án)

Bài 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Lời giải:

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 1)

    Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞)

Bài 2: Tìm cực trị của hàm số y = log₂(x³-4x)

Lời giải:

Vẽ bảng biến thiên, khi đó hàm số có 1 cực trị

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = log₂(x²-2x+3) trên đoạn [-1;2]

Lời giải:

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x³e-2x trên đoạn [-1; 4]

Lời giải:

Bài 5: Số lượng cá thể của một mẻ cấy vi khuẩn sau t ngày kể từ lúc ban đầu được ước lượng bởi công thức N(t) = 1200.(1,148)t. Hãy tính số lượng cá thể của mẻ vi khuẩn ở hai thời điểm: ban đầu và sau 10 ngày. Làm tròn kết quả đến hàng trăm có kết quả là:

Lời giải:

Bài 6: Dựa trên dữ liệu của WHO (Tổ chức Y tế thế giới), số người trên thế giới bị nhiễm HIV trong khoảng từ năm 1985 đến 2006 được ước lượng bằng công thức

trong đó N(t) tính bằng đơn vị triệu người, t tính bằng đơn vị năm và t = 0 ứng với đầu năm 1985. Theo công thức trên, có bao nhiêu số người trên thế giới bị nhiễm HIV ở thời điểm đầu năm 2005?

Lời giải:

Bài 7: Biết rằng năm 2003 dân số Việt Nam là 80 902 000 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47%. Hỏi nếu vẫn giữ nguyên tỉ lệ tăng dân số hàng năm đó thì năm 2020 dân số Việt Nam sẽ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?

Lời giải:

Bài 8: Nồng độ c của một chất hóa học sau thời gian t xảy ra phản ứng tự xúc tác được xác định bằng công thức

Hãy chọn phát biểu đúng :

A. Nồng độ c ngày càng giảm

B. Nồng độ c ngày càng tăng

C. Trong khoảng thời gian đầu nồng độ c tăng, sau đó giảm dần

D. Trong khoảng thời gian đầu nồng độ c giảm, sau đó tăng dần

Lời giải:

Bài 9: Cho các hàm số:

(I) y = (0,3)-x   (II) y = (1,3)-2x

Trong các hàm số đã cho, hàm số nào đồng biến trên R ?

Lời giải:

Hàm số đồng biến khi a > 1.

Viết lại các hàm số về dạng hàm số mũ y = ax :

Trong bốn cơ số ta thấy chỉ có hai cơ số lớn hơn 1 là

Do đó chỉ có hai hàm số (I) và (IV) là đồng biến trên R

Bài 10: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = 4x - 5ln(x² + 1)

Lời giải:

Tập xác định : R

Bảng xét dấu

Khoảng đồng biến của hàm số là (-∞; $\frac{1}{2}$) và (2; +∞)

Bài 11: Cho hàm số y = x²e-x . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số có x = 0 là điểm cực đại, x = 2 là điểm cực tiểu

B. Hàm số có x = 0 là điểm cực tiểu, x = -2 là điểm cực đại

C. Hàm số có x = 0 là điểm cực đại, x = -2 là điểm cực tiểu

D. Hàm số có x = 0 là điểm cực tiểu, x = 2 là điểm cực đại

Lời giải:

y' = e-x^x(2 - x). Bảng biến thiên

 

Từ bảng biến thiên ta thấy x = 0 là điểm cực tiểu, x = 2 là điểm cực đại của hàm số.

Bài 12: Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Lời giải:

Từ đó suy ra hàm số có hai tiệm cận ngang là y = $\frac{3}{2}$ và y = 0

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang là: y = $\frac{3}{2}$; y = 0

Bài 13: Một quần thể vi khuẩn lúc đầu có 200 cá thể và cứ sau một ngày thì số lượng cá thể tăng lên gấp ba lần. Tìm công thức biểu thị số lượng cá thể (kí hiệu N) của quần thể này sau t ngày kể từ lúc ban đầu.

Lời giải:

Theo giả thiết, số lượng vi khuẩn sau 1, 2, 3,… ngày là 200.3 ; 200 .3.3 ; 200.3.3.3 ;… Từ đó ta thấy công thức đúng là N(t) = 200.3t

2. Bài tập tự luyện (có hướng dẫn)

(Xem trong file pdf)

Xem thêm các dạng bài tập Toán chi tiết và hay khác:

60 Bài tập về Hàm số lũy thừa (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập về Lôgarit (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập về Phương trình mũ và phương trình logarit (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập về Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập về Nguyên hàm ( có đáp án năm 2023 )