Trắc nghiệm Toán 7 Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác có đáp án

Dạng 4. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng

  • 553 lượt thi

  • 10 câu hỏi

  • 0 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho ba tam giác cân phân biệt ABC, DBC và EBC có chung đáy BC. Vị trí của ba điểm A, D và E là?

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Cho ba tam giác cân phân biệt ABC, DBC và EBC có chung đáy BC. Vị trí của ba điểm A, D và E là? (ảnh 1)

Do ∆ABC cân tại A nên AB = AC.

Suy ra A thuộc đường trung trực của BC (1)

Do ∆DBC cân tại D nên DB = DC.

Suy ra D thuộc đường trung trực của BC (2)

Do ∆EBC cân tại E nên EB = EC.

Suy ra E thuộc đường trung trực của BC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra ba điểm A, D, E cùng nằm trên đường trung trực của BC.

Mà ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC và phân biệt nên A, D, E phân biệt.

Do đó ba điểm A, D, E thẳng hàng.


Câu 2:

Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC. Kẻ đường thẳng d vuông góc AB tại B, kẻ đường thẳng d’ vuông góc với AC tại C, hai đường thẳng d và d’ giao nhau giao tại D. Cho các khẳng định sau:

(I) A nằm trên đường trung trực của BC;

(II) Ba điểm A, M, D thẳng hàng.

Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC. Kẻ đường thẳng d vuông góc AB (ảnh 1)

Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC, do đó A nằm trên đường trung trực của BC (1)

Xét ∆ABD (vuông tại B) và ∆ACD (vuông tại C) có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A);

AD là cạnh chung

Do đó ∆ABD = ∆ACD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra DB = DC (hai cạnh tương ứng)

Từ đó ta có D nằm trên đường trung trực của BC (2)

Mặt khác, M là trung điểm của BC nên M cũng nằm trên đường trung trực của BC (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có ba điểm A, M, D nằm trên đường trung trực của BC

Suy ra ba điểm A, M, D thẳng hàng.

Vậy cả hai khẳng định (I) và (II) đều đúng. Ta chọn phương án C.


Câu 3:

Cho ∆ABC vuông ở A, gọi D là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC. Khẳng định nào dưới đây là sai?


Câu 4:

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường phân giác BM. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC, K là hình chiếu vuông góc của A trên DM. Cho các phát biểu sau:

(I) BM là đường trung trực của AD;

(II) AK, DH, BM đồng quy tại một điểm;

(III) AK // BC.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường phân giác BM. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho (ảnh 1)

Vì BD = BA do đó tam giác ABD cân tại B.

Nên BM là đường phân giác cũng là đường trung trực của cạnh AD trong tam giác.

Suy ra BM AD (1)

Kéo dài AK cắt DH tại J.

Khi đó ∆ADJ có AH DJ, DK AJ và AH cắt DK tại M nên M là trực tâm của ∆ADJ.

Suy ra JM AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm B, M, J thẳng hàng hay AK, BM, DH là ba đường đồng quy.

Do BM là đường trung trực của AD nên MA = MD.

Xét ∆BAM và ∆BDM có:

BM là cạnh chung; BA = BD (giả thiết); MA = MD (chứng minh trên)

Do đó ∆BAM = ∆BDM (c.c.c)

Suy ra BAM^=BDM^ (hai góc tương ứng)

BAM^=90° nên BDM^=90° hay MD BC, tức DK BC.

Lại có DK AK tại K nên AK // BC.

Vậy cả (I), (II) và (III) đều đúng. Ta chọn phương án D.


Câu 5:

Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Kẻ AC Oy, BD Ox (C Oy, D Ox). Đường thẳng vuông góc với Ox tại A và đường thẳng vuông góc với Oy tại B cắt nhau tại M. Khẳng định nào sau đây là sai?

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. (ảnh 1)

Xét ∆AOM và ∆BOM có:

OAM^=OBM^=90°;

OM là cạnh chung;

OA = OB (giả thiết)

Do đó ∆AOM = ∆BOM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra MA = MB (hai cạnh tương ứng).

Nên M nằm trên đường trung trực của AB.

Lại có OA = OB nên O nằm trên đường trung trực của AB.

Do đó OM là đường trung trực của AB, nên OM AB.

Xét ∆AOB có ba đường cao OM, AC, BD nên ba đường này đồng quy tại một điểm.

Vậy cả A và B đều là khẳng định đúng.

Khi đó phương án D là sai. Ta chọn phương án D.


Câu 6:

Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là đường phân giác. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BA = BE. Vẽ CH DB. Cho các khẳng định sau:

(I) Ba đường thẳng BA, DE, CH đồng quy;

(II) Đường thẳng DE đi qua giao điểm của AB và CH;

(III) DE BC.

Có bao nhiêu khẳng định sai?

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là đường phân giác. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BA = BE (ảnh 1)

Gọi I là giao điểm của CH và AB.

Xét ∆IBC có CA BI, BH CI và CA cắt BH tại D nên D là trực tâm của ∆IBC.

Suy ra ID BC (1)

Xét ∆BAD và ∆BED có:

BA = BE (giả thiết);

ABD^=EBD^ (do BD là đường phân giác)

BD là cạnh chung

Do đó ∆BAD = ∆BED (c.g.c).

Suy ra BAD^=BED^=90° (hai góc tương ứng)  (do BAD^=90°)

Hay DE BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra I, D, E thẳng hàng hay BA, DE, CH đồng quy.

Vậy đường thẳng DE đi qua giao điểm của AB và CH và ba đường thẳng BA, DE, CH đồng quy.

Do đó không có khẳng định nào sai. Ta chọn phương án A.


Câu 7:

Cho tam giác ABC cân tại A có đường phân giác AH (H BC). Đường trung trực của cạnh AB cắt đường AH tại O. Trên các cạnh AB và AC lấy các điểm E và F sao cho: AE + AF = AB. Hỏi E và F ở vị trí nào để O là trung điểm của EF?

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Cho tam giác ABC cân tại A có đường phân giác AH (H ∈ BC). Đường trung trực của cạnh AB cắt đường (ảnh 1)

Ta có AE + AF = AB và AE + EB = AB.

Suy ra AF = EB.

Vì AH là đường phân giác nên A^1=A^2

Vì O nằm trên đường trung trực AB nên ∆ABO cân tại O, khi đó: A^1=B^1 và OA = OB.

Suy ra A^2=B^1.

Xét ∆AOF và ∆BOE có:

AF = BE; A^2=B^1. OA = OB

Do đó ∆AOF = ∆BOE (c.g.c)

Suy ra OF = OE (hai cạnh tương ứng).

Khi đó để O là trung điểm của EF thì cần thêm điều kiện là E, O, F thẳng hàng.


Câu 8:

Cho tam giác MNP vuông tại M (MP < MN). Trên cạnh MN lấy điểm Q sao cho MQ = MP, trên tia đối của tia MP lấy điểm R sao cho MR = MN. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Cho tam giác MNP vuông tại M (MP < MN). Trên cạnh MN lấy điểm Q sao cho MQ = MP, trên tia đối của (ảnh 1)

Gọi S là giao điểm PQ và RN.

ΔMPQ vuông tại M có MQ = MP nên là tam giác vuông cân tại M, do đó MQP^=45°.

Suy ra SQN^=MQP^=45° (đối đỉnh)

Tương tự, ΔMNR vuông cân tại M có MNR^=45°.

Trong ΔNSQ có: SQN^=45° và SNQ^=45°

Do đó QSN^=90° nên QS NS hay PS NR.

Trong ΔNPR có các đường cao PS và NM cắt nhau tại Q.

Suy ra Q là trực tâm ΔNPR. Do đó Q không cách đều ba cạnh, ba đỉnh của ΔPNR.

Vậy MN, PQ và RQ đồng quy, ta chọn phương án C.


Câu 9:

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường phân giác BM. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC, K là hình chiếu vuông góc của A trên DM. Khẳng định nào sau đây là sai?

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường phân giác BM. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. (ảnh 1)

Ta có BA = BD nên ∆BAD cân tại B

Mà BM là đường phân giác nên đồng thời là đường cao, do đó BM AD.

Do H là hình chiếu vuông góc của D trên AC, K là hình chiếu vuông góc của A trên DM.

Nên DH AC hay DH AM, AK MD.

Xét ∆AMD có: MB AD, DH AM, AK MD.

Suy ra BM, DH, AK là ba đường cao của ∆AMD nên chúng đồng quy.

Vậy phương án D là khẳng định sai.


Câu 10:

Cho tam giác ABC cân ở A, đường phân giác AK. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Kéo dài CO cắt AB ở D, kéo dài BO cắt AC ở E.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Cho tam giác ABC cân ở A, đường phân giác AK. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. (ảnh 1)

Do ΔABC cân tại A nên AK là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của BC.

Xét ΔABC có các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O.

Vây thì theo tính chất ba đường trung trực của tam giác nên O thuộc đường trung trực của BC. Do đó ba điểm A, O, K thẳng hàng.

Vì O nằm trên đường trung trực của BC nên OB = OC, do đó tam giác OBC cân tại O

Suy ra B2^=C2^

ABC^=ACB^ (do ∆ABC cân ở A) nên B1^=C1^

Xét ∆AEB và ∆ADC có:

B1^=C1^ (chứng minh trên);

BAC^ là góc chung;

AB = AC (do ∆ABC cân ở A)

Từ đó ∆AEB = ∆ADC (g.c.g), suy ra AD = AE (1).

Măt khác, có OB = OC, BE = CD (vì ∆AEB = ∆ADC) nên OD = OE (2).

Từ (1) và (2) suy ra AK là đường trung trực của DE.

Xét ∆ADE, theo tính chất ba đường trung trực của tam giác suy ra AK và các đường trung

trực của AD, AEDE đồng quy.

Vậy ta chọn phương án D.


Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan


Có thể bạn quan tâm


Các bài thi hot trong chương