Hướng dẫn giải:

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng.

Chọn C.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Định nghĩa \[f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\] hay \[f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}}{h}\] (nếu tồn tại giới hạn).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

A. Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm).

B. Đúng vì

 \[\begin{array}{l}\Delta x = x - {x_0} \Rightarrow x = \Delta x + {x_0}\\\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\\ \Rightarrow f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x + {x_0} - {x_0}}} = \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\end{array}\]

C. Đúng vì

Đặt \[h = \Delta x = x - {x_0} \Rightarrow x = h + {x_0},\] \[\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\]

\[ \Rightarrow f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{h + {x_0} - {x_0}}} = \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}\]

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = {\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^3} - {2^3} = {x_0}^3 + {\left( {\Delta x} \right)^3} + 3{x_0}\Delta x\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - 8\).

Với \[{x_0} = 2\] và \(\Delta x = 1\) thì \(\Delta y = 19\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

\[\begin{array}{l}\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \frac{{2x\left( {x - 1} \right) - 2{x_0}\left( {{x_0} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \frac{{2\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right) - 2\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = 2x + 2{x_0} - 2 = 4x + 2\Delta x - 2\end{array}\]

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Với số gia \[\Delta x\]của đối số x tại \[{x_0} = - 1\] Ta có

\[\Delta y = \frac{{{{\left( { - 1 + \Delta x} \right)}^2}}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{{1 + {{\left( {\Delta x} \right)}^2} - 2\Delta x}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}{\left( {\Delta x} \right)^2} - \Delta x\]

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có :

\[\begin{array}{l}\Delta y = {\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^2} - \left( {{x_0} + \Delta x} \right) - \left( {x_0^2 - {x_0}} \right)\\ = x_0^2 + 2{x_0}\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2} - {x_0} - \Delta x - x_0^2 + {x_0}\\ = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2{x_0}\Delta x - \Delta x\end{array}\]

Nên \[f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + 2{x_0}\Delta x - \Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 2{x_0} - 1} \right)\]

Vậy \[f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 2x - 1} \right)\]

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Gọi  là số gia của đối số tại 0 sao cho .

Ta có .

Nên hàm số không có đạo hàm tại 0.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + x + 1} - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{x}{{\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + x + 1} + 1}} = \frac{1}{2}\)

Vậy \(f'(1) = \frac{1}{2}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + 3} \right) = 5\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^3} + 2{x^2} - 7x + 4}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} ({x^2} + 3x - 4) = 0\)

Dẫn tới \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) \Rightarrow \) hàm số không liên tục tại \(x = 1\) nên hàm số không có đạo hàm tại \({x_0} = 1\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4} - \frac{1}{4}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{4x}}\]

   \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {2 - \sqrt {4 - x} } \right)\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{4\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \frac{1}{{16}}.\]

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có  nên .

Do  nên  không tồn tại.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có

\[\begin{array}{l}{ \bullet _{}}f\left( 2 \right) = 4\\{ \bullet _{}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {x^2} = 4\\{ \bullet _{}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( { - \frac{{{x^2}}}{2} + bx - 6} \right) = 2b - 8\end{array}\]

\[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại \(x = 2\) khi và chỉ khi \[f\left( x \right)\] liên tục tại \(x = 2\)

     \[ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2b - 8 = 4 \Leftrightarrow b = 6.\]

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có

\[\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {\Delta x + x} \right) - f\left( x \right)\\ = {\left( {\Delta x + x} \right)^2} - 4\left( {\Delta x + x} \right) + 1 - \left( {{x^2} - 4x + 1} \right)\\ = \Delta {x^2} + 2\Delta x.x + {x^2} - 4\Delta x - 4x + 1 - {x^2} + 4x - 1 = \Delta {x^2} + 2\Delta x.x - 4\Delta x\\ = \Delta x\left( {\Delta x + 2x - 4} \right)\end{array}\]

Hướng dẫn giải:

Chọn A

(1) Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại điểm \[x = {x_0}\]thì \[f\left( x \right)\] liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng.

(2) Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục tại điểm \[x = {x_0}\] thì \[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại điểm đó.

Phản ví dụ

Lấy hàm \[f\left( x \right) = \left| x \right|\] ta có \[D = \mathbb{R}\] nên hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\].

Nhưng ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - 0}}{{x - 0}} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - x - 0}}{{x - 0}} = - 1\end{array} \right.\]

Nên hàm số không có đạo hàm tại \[x = 0\].

Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai.

(3) Nếu \[f\left( x \right)\] gián đoạn tại \[x = {x_0}\] thì chắc chắn \[f\left( x \right)\] không có đạo hàm tại điểm đó.

Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có \[f\left( x \right)\] không liên tục tại \[x = {x_0}\] thì \[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại điểm đó.

Vậy (3) là mệnh đề đúng.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có : \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}} = 0\\f\left( 0 \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}} = f\left( 0 \right)\]. Vậy hàm số \[y = \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}}\] liên tục tại \[x = 0\]

Ta có : \[\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \frac{{\frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}} - 0}}{x} = \frac{{\left| x \right|}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\](với \[x \ne 0\])

Do đó : \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right|}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{x + 1}} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right|}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 1}}{{x + 1}} = - 1\end{array} \right.\]

Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của \[\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\] khi \[x \to 0\].

Vậy hàm số \[y = \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}}\] không có đạo hàm tại \[x = 0\]

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + x} \right) = 0\).

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {{x^2} - x} \right) = 0\).

+) \(f\left( 0 \right) = 0\).

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\). Vậy hàm số liên tục tại \(x = 0\).

Mặt khác:

+) \(f'\left( {{0^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2} + x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x + 1} \right) = 1\).

+) \(f'\left( {{0^ - }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{x^2} - x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x - 1} \right) = - 1\).

\( \Rightarrow f'\left( {{0^ + }} \right) \ne f'\left( {{0^ - }} \right)\). Vậy hàm số không có đạo hàm tại \(x = 0\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có:\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} ({x^2} + x) = 2\]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (ax + b) = a + b\]

Hàm có đạo hàm tại \[x = 1\] thì hàm liên tục tại \[x = 1\] \[ \Leftrightarrow a + b = 2\] (1)

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (x + 2) = 3\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ax + b - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ax - a}}{{x - 1}} = a\](Do\[b = 2 - a\])

Hàm có đạo hàm tại \[x = 1\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 1\end{array} \right.\].

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Hàm số liên tục tại \(x = 1\) nên Ta có \[a + b = \frac{1}{2}\]

Hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\) nên giới hạn 2 bên của \[\frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\] bằng nhau và Ta có

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ax + b - \left( {a.1 + b} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{a\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} a = a\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x + 1} \right)}}{2} = 1\]

Vậy \(a = 1;b = - \frac{1}{2}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\sin \frac{1}{x} = 0\)

Vậy \(f'(0) = 0\).

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{{\sin }^2}x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\frac{{\sin x}}{x}.\sin x} \right) = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x + {x^2}} \right) = 0\) nên hàm số liên tục tại \(x = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2}}} = 1\) và

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{x + {x^2}}}{x} = 1\)

Vậy \(f'(0) = 1\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có hàm số liên tục tại \({x_0} = - 1\) và

\(\frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + x + \left| {x + 1} \right|}}{{x(x + 1)}}\)

Nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x(x + 1)}} = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x(x + 1)}} = 2\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}}\)

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm \({x_0} = - 1\).

Nhận xét: Hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x = {x_0}\) thì phải liên tục tại điểm đó.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta thấy với \[x \ne 0\] thì \[f(x)\] luôn có đạo hàm. Do đó hàm số có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi hàm có đạo hàm tại\[x = 0\].

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 1;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = b \Rightarrow \]\[f(x)\] liên tục tại\[x = 0 \Leftrightarrow b = 1\].

 Khi đó: \[f'({0^ + }) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = 0;{\rm{ }}f'({0^ - }) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = a\]

\[ \Rightarrow f'({0^ + }) = f'({0^ - }) \Leftrightarrow a = 0\].

Vậy \[a = 0,b = 1\] là những giá trị cần tìm.