Câu hỏi:
01/04/2024 36
Xét hai câu sau:
(1) Hàm số \[y = \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}}\] liên tục tại \[x = 0\]
(2) Hàm số \[y = \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}}\] có đạo hàm tại \[x = 0\]
Trong hai câu trên:
Xét hai câu sau:
(1) Hàm số \[y = \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}}\] liên tục tại \[x = 0\]
(2) Hàm số \[y = \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}}\] có đạo hàm tại \[x = 0\]
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (2) đúng.
B. Chỉ có (1) đúng.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có : \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}} = 0\\f\left( 0 \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}} = f\left( 0 \right)\]. Vậy hàm số \[y = \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}}\] liên tục tại \[x = 0\]
Ta có : \[\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \frac{{\frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}} - 0}}{x} = \frac{{\left| x \right|}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\](với \[x \ne 0\])
Do đó : \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right|}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{x + 1}} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right|}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 1}}{{x + 1}} = - 1\end{array} \right.\]
Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của \[\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\] khi \[x \to 0\].
Vậy hàm số \[y = \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}}\] không có đạo hàm tại \[x = 0\]
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có : \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}} = 0\\f\left( 0 \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}} = f\left( 0 \right)\]. Vậy hàm số \[y = \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}}\] liên tục tại \[x = 0\]
Ta có : \[\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \frac{{\frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}} - 0}}{x} = \frac{{\left| x \right|}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\](với \[x \ne 0\])
Do đó : \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right|}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{x + 1}} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right|}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 1}}{{x + 1}} = - 1\end{array} \right.\]
Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của \[\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\] khi \[x \to 0\].
Vậy hàm số \[y = \frac{{\left| x \right|}}{{x + 1}}\] không có đạo hàm tại \[x = 0\]
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Số gia của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2}\]ứng với số gia \[\Delta x\]của đối số x tại \[{x_0} = - 1\] là
Số gia của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2}\]ứng với số gia \[\Delta x\]của đối số x tại \[{x_0} = - 1\] là
Câu 2:
Tìm \[a,b\] để hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 1\\ax + b{\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 1\end{array} \right.\] có đạo hàm tại \[x = 1\].
Tìm \[a,b\] để hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 1\\ax + b{\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 1\end{array} \right.\] có đạo hàm tại \[x = 1\].
Câu 3:
\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{{\sin }^2}x}}{x}{\rm{ khi }}x > 0\\x + {x^2}{\rm{ khi }}x \le 0{\rm{ }}\end{array} \right.\) tại \({x_0} = 0\)
\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{{\sin }^2}x}}{x}{\rm{ khi }}x > 0\\x + {x^2}{\rm{ khi }}x \le 0{\rm{ }}\end{array} \right.\) tại \({x_0} = 0\)
Câu 4:
Số gia của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 1\] ứng với x và \[\Delta x\]là
Số gia của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 1\] ứng với x và \[\Delta x\]là
Câu 5:
Cho hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}{\rm{ khi }}x \ne 0\\\frac{1}{4}{\rm{ khi }}x = 0\end{array} \right.\]. Khi đó \[f'\left( 0 \right)\]là kết quả nào sau đây?
Cho hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}{\rm{ khi }}x \ne 0\\\frac{1}{4}{\rm{ khi }}x = 0\end{array} \right.\]. Khi đó \[f'\left( 0 \right)\]là kết quả nào sau đây?
Câu 6:
Cho hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}{\rm{ khi }}x \le 2\\ - \frac{{{x^2}}}{2} + bx - 6{\rm{ khi }}x > 2\end{array} \right.\]. Để hàm số này có đạo hàm tại \(x = 2\) thì giá trị của b là
Cho hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}{\rm{ khi }}x \le 2\\ - \frac{{{x^2}}}{2} + bx - 6{\rm{ khi }}x > 2\end{array} \right.\]. Để hàm số này có đạo hàm tại \(x = 2\) thì giá trị của b là
Câu 7:
Tỉ số \[\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\] của hàm số \[f\left( x \right) = 2x\left( {x - 1} \right)\]theo x và \[\Delta x\]là
Tỉ số \[\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\] của hàm số \[f\left( x \right) = 2x\left( {x - 1} \right)\]theo x và \[\Delta x\]là
Câu 8:
Tìm a,b để hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 0\\2{x^2} + ax + b{\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 0\end{array} \right.\]có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\).
Tìm a,b để hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 0\\2{x^2} + ax + b{\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 0\end{array} \right.\]có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\).
Câu 9:
Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại\[{x_0} < 1\]?
Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại\[{x_0} < 1\]?
Câu 10:
Cho hàm số \[f\left( x \right) = {x^2} + \left| x \right|\]. Xét hai câu sau:
(1). Hàm số trên có đạo hàm tại \[ < nguyenthuongnd86@gmail.com > \].
(2). Hàm số trên liên tục tại \[x = 0\].
Trong hai câu trên:
Cho hàm số \[f\left( x \right) = {x^2} + \left| x \right|\]. Xét hai câu sau:
(1). Hàm số trên có đạo hàm tại \[ < nguyenthuongnd86@gmail.com > \].
(2). Hàm số trên liên tục tại \[x = 0\].
Trong hai câu trên:
Câu 11:
Cho hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{2}{\rm{ khi }}x \le 1\\ax + b{\rm{ khi }}x > 1\end{array} \right.\]. Với giá trị nào sau đây của a, b thì hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\)?
Cho hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{2}{\rm{ khi }}x \le 1\\ax + b{\rm{ khi }}x > 1\end{array} \right.\]. Với giá trị nào sau đây của a, b thì hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\)?
Câu 13:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \[{x_0}\]. Đạo hàm của \(f\left( x \right)\) tại \[{x_0}\] là
Câu 14:
\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 1\\\frac{{{x^3} + 2{x^2} - 7x + 4}}{{x - 1}}{\rm{ khi }}x < 1\end{array} \right.\) tại \({x_0} = 1\).
\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 1\\\frac{{{x^3} + 2{x^2} - 7x + 4}}{{x - 1}}{\rm{ khi }}x < 1\end{array} \right.\) tại \({x_0} = 1\).
Câu 15:
Xét ba mệnh đề sau:
(1) Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại điểm \[x = {x_0}\]thì \[f\left( x \right)\] liên tục tại điểm đó.
(2) Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục tại điểm \[x = {x_0}\] thì \[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại điểm đó.
(3) Nếu \[f\left( x \right)\] gián đoạn tại \[x = {x_0}\] thì chắc chắn \[f\left( x \right)\] không có đạo hàm tại điểm đó.
Trong ba câu trên:
Xét ba mệnh đề sau:
(1) Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại điểm \[x = {x_0}\]thì \[f\left( x \right)\] liên tục tại điểm đó.
(2) Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục tại điểm \[x = {x_0}\] thì \[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại điểm đó.
(3) Nếu \[f\left( x \right)\] gián đoạn tại \[x = {x_0}\] thì chắc chắn \[f\left( x \right)\] không có đạo hàm tại điểm đó.
Trong ba câu trên:
