Xét tứ giác ABDC có AD cắt BC tại H là trung điểm của mỗi đường. Do đó ABDC là hình bình hành.

⇒ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD}$ (quy tắc hình bình hành)

⇒ $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right|$

Ta lại có hình bình hành ABDC có $\widehat {BAC} = {90^0}$ nên ABDC là hình chữ nhật do đó AD = BC =10 cm.

⇒ $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = BC = 10cm$.

Vậy độ dài $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$ là 10 cm.

+) Áp dụng quy tắc hiệu ta có: $\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA}$ và $\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {DC}$:

$\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {DC}$;

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD khi đó $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$. Suy ra $\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} \ne \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD}$ và $\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD}$. Do đó B đúng, A sai.

+) Áp dụng quy tắc hiệu ta có: $\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {DA}$ và $\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BC}$:

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = CB và AD // CB khi đó $\overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CB}$. Suy ra $\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OD} \ne \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB}$. Do đó C sai.

+) Áp dụng quy tắc hiệu ta có: $\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CA}$ và $\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BD}$:

Vì hai vectơ $\overrightarrow {CA}$ và $\overrightarrow {BD}$ không cùng phương nên không bằng nhau. Suy ra$\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OC} \ne \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OB}$. Do đó D sai.

Vì ABCD là hình thoi nên ABCD là hình bình hành khi đó: $\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DB}$ (quy tắc hình bình hành)

Xét tam giác ABD có:

BD² = AB² + AD² – 2.AB.AD.cos$\widehat {BAD}$

⇔ BD² = 2² + 2² – 2.2.2.cos100°

⇔ BD² = 2² + 2² – 2.2.2.cos100°

⇔ BD² ≈ 9,39

⇔ BD ≈ 3,06 dm

⇒ $\left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = 3,06\,\,dm.$

Vậy độ dài vectơ $\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC}$ là 3,06 dm.

+) Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$ (quy tắc hình bình hành). Do đó A đúng.

+) Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0$. Do đó B đúng.

+) O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC. Suy ra $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0$. Do đó C đúng.

+) Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên GC = 2GA. Suy ra $\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GO} \ne \overrightarrow 0$. Do đó D sai.

+) Hình bình hành ABCD có tâm O nên O là trung điểm của BD.

Do $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0$ nên M là trọng tâm của tam giác ADB.

Khi đó trên AO chọn M sao cho $\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AO}$.

+) Do $\overrightarrow {N{\rm{D}}} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0$ nên N là trọng tâm của tam giác DBC.

Khi đó trên CO chọn N sao cho $\overrightarrow {CN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {CO}$.

+) Do $\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow 0$ nên P là trung điểm của MN (1).

Ta có AM = $\frac{2}{3}$AO = $\frac{2}{3}.\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{3}$AC; CN = $\frac{2}{3}$CO = $\frac{2}{3}.\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{3}$AC.

Do đó MN = $\frac{1}{3}$AC.

MO = $\frac{1}{3}$AO = $\frac{1}{3}.\frac{1}{2}$ AC = $\frac{1}{6}$AC.

Khi đó MO = $\frac{1}{2}$MN.

Mà O nằm giữa M và N nên O là trung điểm của MN (2).

Từ (1) và (2) suy ra P trùng O.

Vậy P là trung điểm của MN.

Trong đó ABCD là hình bình hành, $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {{F_2}}$

Khi đó $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\widehat {ABC} + \widehat {BAD} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {BAD} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$
Xét tam giác ABC:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

AC² = AB² + BC² – 2AB.BC.cos$\widehat {ABC}$

⇔ AC² = 7² + 3² – 2.7.3.cos135°

⇔ AC² = $58 + 21\sqrt 2$

⇔ AC ≈ 9,36

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC \approx 9,36N$.

+) Ta có $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OA} + \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OE} } \right) = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow {OA}$. Do đó A sai.

+) Ta có $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {FE} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {AD}$. Do đó B đúng.

+) Ta có $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OA} + \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OE} } \right) = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow {OA} \ne \overrightarrow {EB}$. Do đó C sai.

+) Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {FE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {FE} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {FE} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {AO} = 2\overrightarrow {AO} \ne \overrightarrow 0$. Do đó D sai.

Dựng hình bình hành AOBC.

Khi đó $\overrightarrow F = \overrightarrow {OC}$.

Do AOBC là hình bình hành nên $\widehat {AOB} + \widehat {OBC} = 180^\circ$ và OA = BC = 550.

Do đó $\widehat {OBC} = 180^\circ - \widehat {AOB} = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác OBC có:

OC² = OB² + BC² - 2.OB.BC.cos $\widehat {OBC}$

$\Rightarrow$ OC² = 800² + 550² - 2.800.550.cos 128^o

$\Rightarrow$ OC² ≈ 1 484 282, 1

$\Rightarrow$ OC ≈ 1 218,3 N (do OC là độ dài đoạn thẳng nên OC > 0)

Suy ra $\left| {\overrightarrow F } \right|$ ≈ 1 218,3 N.

Vậy độ lớn lực $\overrightarrow F$ nằm trong khoảng (1 200; 1 300).

Ta có: $\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {B{\rm{D}}} } \right) + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {B{\rm{D}}} + \overrightarrow {CB}$

$= \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right) + \overrightarrow {B{\rm{D}}}$

$= \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B{\rm{D}}}$

$= \overrightarrow {AD}$

Do đó $\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow {A{\rm{D}}} } \right|$ = 1.

Ta lại có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {DA} } \right) = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA} = \overrightarrow {AC}$.

Do đó $\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC có:

AC² = AD² + DC²

$\Rightarrow$ AC² = 1² + 1²

$\Rightarrow$ AC² = 2

$\Rightarrow$ AC = $\sqrt 2$ (do AC là độ dài đoạn thẳng)

Suy ra $\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt 2$.

Vậy $\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 2 \left| {\overrightarrow a } \right|$.

Do $\overrightarrow {K{\rm{A}}} + \overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0$ nên K là trung điểm của AC.

Do đó K là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD.

Do $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$ nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó trên đoạn BK chọn điểm G sao cho $\overrightarrow {BG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BK}$.

Do $\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {H{\rm{D}}} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow 0$ nên H là trọng tâm của tam giác ADC.

Khi đó trên đoạn DK chọn điểm H sao cho $\overrightarrow {DH} = \frac{2}{3}\overrightarrow {DK}$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC vuông tại D có:

AC² = AD² + DC²

$\Rightarrow$ AC² = a² + a²

$\Rightarrow$ AC² = 2a²

$\Rightarrow$ AC = $\sqrt 2$a (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0)

Do K là trung điểm của AC nên AK = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{{\sqrt 2 a}}{2}$.

Do đó $\left| {\overrightarrow {K{\rm{A}}} } \right| = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}$.

Do ABCD là hình vuông nên AC = BD.

Do đó BD = $\sqrt 2$a.

Do H là trọng tâm của tam giác ADC nên HK = $\frac{1}{3}$DK = $\frac{1}{3}.\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{6}$BD = $\frac{{\sqrt 2 a}}{6}$.

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên KG = $\frac{1}{3}$BK = $\frac{1}{3}.\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{6}$BD = $\frac{{\sqrt 2 a}}{6}$.

Do đó HK + KG = $\frac{{\sqrt 2 a}}{6}$+ $\frac{{\sqrt 2 a}}{6}$ hay HG = $\frac{{\sqrt 2 a}}{3}$.

Do đó $\left| {\overrightarrow {GH} } \right| = \frac{{\sqrt 2 a}}{3}$.