Giải SGK Toán 8 (Chân trời sáng tạo) Bài 2: Các phép toán với đa thức nhiều biến

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép toán với đa thức nhiều biến

Giải Toán 8 trang 12 Tập 1

Khởi động trang 12 Toán 8 Tập 1: Trên một đoạn sông thẳng, xuất phát cùng một lúc từ một bến thuyền, thuyền đi xuôi dòng với vận tốc (v + 3) km/h, ca nô đi ngược dòng với tốc độ (2v – 3) km/h.

Làm thế nào để tìm được quãng đường của mỗi phương tiện và khoảng cách giữa chúng sau khoảng thời gian t giờ kể từ khi rời bến?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Sau khoảng thời gian t giờ, thuyền đi xuôi dòng được quãng đường là: (v + 3).t (km).

Sau khoảng thời gian t giờ, ca nô đi ngược dòng được quãng đường là: (2v – 3).t (km).

Khoảng cách giữa hai phương tiện sau khoảng thời gian t giờ là:

(v + 3).t + (2v – 3).t

= vt + 3t + 2vt – 3t

= (vt + 3vt) + (3t – 3t)

= 4vt (km).

Vậy khoảng cách giữa chúng sau khoảng thời gian t giờ kể từ khi rời bến là 4vt (km).

1. Cộng, trừ đa thức

Khám phá 1 trang 12 Toán 8 Tập 1: Tại một công trình xây dựng, người ta dùng ba loại tấm kính chống nắng A, B và C với kích thước như Hình 1 (tính bằng m). Giá tiền các tấm kính được tính theo diện tích với đơn giá a đồng/m². Tại đây có hai lần nhập vật liệu như bảng sau:

a) Tính tổng số tiền mua kính của cả hai lần.

b) Số tiền lần 2 nhiều hơn lần 1 bao nhiêu?

Lời giải:

a) Giá tiền của tấm kính chống nắng loại A là: a.S_A = a.(x.x) = ax² (đồng).

Giá tiền của tấm kính chống nắng loại B là: a.S_B = a.(x.1) = ax (đồng).

Giá tiền của tấm kính chống nắng loại C là: a.S_C = a.(x.y) = axy (đồng).

Số tiền mua kính của lần 1 là: 2ax² + 4ax + 5axy (đồng).

Số tiền mua kính của lần 2 là: 4ax² + 3ax + 6axy (đồng).

Tổng số tiền mua kính của cả hai lần là:

(2ax² + 4ax + 5axy) + (4ax² + 3ax + 6axy)

= 2ax² + 4ax + 5axy + 4ax² + 3ax + 6axy

= (2ax² + 4ax²) + (4ax + 3ax) + (5axy + 6axy)

= 6ax² + 7ax + 11axy (đồng).

b) Số tiền lần 2 nhiều hơn lần 1 là:

(2ax² + 4ax + 5axy) – (4ax² + 3ax + 6axy)

= 2ax² + 4ax + 5axy – 4ax² – 3ax – 6axy

= (2ax² – 4ax²) + (4ax – 3ax) + (5axy – 6axy)

= –2ax² + ax – axy (đồng).

Giải Toán 8 trang 13 Tập 1

Thực hành 1 trang 13 Toán 8 Tập 1: Cho hai đa thức M = 1 + 3xy – 2x²y² và N = x – xy + 2x²y².

Tính M + N và M – N.

Lời giải:

M + N = 1 + 3xy – 2x²y² + x – xy + 2x²y²

           = 1 + (3xy – xy) + x + (–2x²y² + 2x²y²)

           = 1 + 2xy + x.

M – N = 1 + 3xy – 2x²y² – (x – xy + 2x²y²)

           = 1 + 3xy – 2x²y² – x + xy – 2x²y²)

           = 1 + (3xy + xy) – x + (–2x²y² – 2x²y²)

           = 1 + 4xy – x – 4x²y².

2. Nhân hai đa thức

Khám phá 2 trang 13 Toán 8 Tập 1: Hình hộp chữ nhật A có chiều rộng 2x, chiều dài và chiều cao đều gấp k lần chiều rộng (Hình 2)

a) Tính diện tích đáy của A.

b) Tính thể tích của A.

Lời giải:

a) Chiều dài của hình hộp chữ nhật A là: k.2x = 2kx.

Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật A là:

S_đáy = (2x).(2kx) = (2.2).k.(x.x) = 4kx² (đơn vị diện tích).

b) Chiều cao của hình hộp chữ nhật A là: k.2x = 2kx.

Thể tích của hình hộp chữ nhật A là:

V = S_đáy.h = (4kx²).(2kx) = (4.2).(k.k).(x².x) = 8k²x³ (đơn vị thể tích).

Giải Toán 8 trang 14 Tập 1

Thực hành 2 trang 14 Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép nhân đơn thức sau:

a) (4x³).(–6x³y);

b) (–2y).(–5xy²);

c) (–2a)³.(2ab)².

Lời giải:

a) (4x³).(–6x³y)

= [4.(–6)].(x³.x³).y

= –24x⁶y.

b) (–2y).(–5xy²)

= [(–2).(–5)].x.(y.y²)

= 10xy³.

c) (–2a)³.(2ab)²

= (–2)³.a³.2².a².b²

= [(–2)³.2²].(a³.a²).b²

= [(–8).4].a⁵b²

= –32a⁵b².

Khám phá 3 trang 14 Toán 8 Tập 1: a) Hình 3a là bản vẽ sơ lược sàn của một căn hộ (các kích thước tính theo m). Tính diện tích sàn này bằng những cách khác nhau.

b) Nếu vẽ cả ban công thì được sơ đồ như Hình 3b. Hãy tính tổng diện tích của sàn bao gồm cả ban công.

Lời giải:

a) Cách 1: Chia sàn căn hộ thành ba hình chữ nhật ABCD, BCEG, EGHK (hình vẽ dưới đây), khi đó diện tích sàn căn hộ là tổng diện tích các hình chữ nhật trên.

Diện tích hình chữ nhật ABCD là: 2xy (m²).

Diện tích hình chữ nhật BCEG là: 2x.3x = 6x² (m²).

Diện tích hình chữ nhật EGHK là: 2x.2 = 4x (m²).

Diện tích sàn của căn hộ là: 2xy + 6x² + 4x (m²).

Cách 2: Tính chiều dài của sàn căn hộ rồi tính diện tích sàn căn hộ.

Chiều dài sàn của căn hộ là: y + 3x + 2 (m).

Diện tích sàn của căn hộ là: 2x.(y + 3x + 2) (m²).

Lưu ý: Ngoài 2 cách trên, có thể dùng cách khác để tính diện tích sàn của căn hộ.

b) Chiều rộng sàn của căn hộ (bao gồm cả ban công) là: 2x + 1 (m).

Diện tích sàn của căn hộ (bao gồm cả ban công) là: (2x + 1).(y + 3x + 2) (m²).

Giải Toán 8 trang 15 Tập 1

Thực hành 3 trang 15 Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) (–5a⁴)(a²b – ab²);

b) (x + 2y)(xy² – 2y³).

Lời giải:

a) (–5a⁴)(a²b – ab²)

= (–5a⁴).(a²b) – (–5a⁴).(ab²)

= –5.(a⁴.a²).b + 5.(a⁴.a).b²

= –5a⁶b + 5a⁵b².

b) (x + 2y)(xy² – 2y³)

= x.(xy² – 2y³) + 2y.(xy² – 2y³)

= x.xy² – x.2y³ + 2y.xy² – 2y.2y³

= x²y² – 2xy³ + 2xy³ – 4y⁴

= x²y² + (– 2xy³ + 2xy³) – 4y⁴

= x²y² – 4y⁴.

Vận dụng 1 trang 15 Toán 8 Tập 1: Viết biểu thức tính khoảng cách giữa hai phương tiện trong tình huống ở Hoạt động khởi động (trang 12).

Lời giải:

Sau khoảng thời gian t giờ, thuyền đi xuôi dòng được quãng đường là: (v + 3).t (km).

Sau khoảng thời gian t giờ, ca nô đi ngược dòng được quãng đường là: (2v – 3).t (km).

Khoảng cách giữa hai phương tiện sau khoảng thời gian t giờ là:

(v + 3).t + (2v – 3).t

= vt + 3t + 2vt – 3t

= (vt + 3vt) + (3t – 3t)

= 4vt (km).

Vậy khoảng cách giữa chúng sau khoảng thời gian t giờ kể từ khi rời bến là 4vt (km).

Vận dụng 2 trang 15 Toán 8 Tập 1: Tính diện tích phần tô màu trong Hình 4.

Lời giải:

Diện tích hình chữ nhật lớn (cạnh có màu xanh) là: (2x + 3y).5y (m²).

Diện tích hình chữ nhật nhỏ (cạnh có màu đen) là: x.(x + y) (m²).

Diện tích phần tô màu là:

(2x + 3y).5y – x.(x + y)

= 2x.5y + 3y.5y – x.x – x.y

= 10xy + 15y² – x² – xy

= (10xy – xy) + 15y² – x²

= 9xy + 15y² – x² (m²).

3. Chia đa thức cho đơn thức

Khám phá 4 trang 15 Toán 8 Tập 1: Hình chữ nhật A có chiều rộng 2x (cm), chiều dài gấp k (k > 1) lần chiều rộng. Hình chữ nhật B có chiều dài 3x (cm). Muốn hai hình chữ nhật này có diện tích bằng nhau thì B phải có chiều rộng bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Diện tích hình chữ nhật A là: S_A = 2x.2kx = 4kx² (cm²).

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật B là R (cm).

Khi đó diện tích của hình chữ nhật B là: S_B = R.3x (cm²).

Để hai hình chữ nhật này có diện tích bằng nhau thì S_A = S_B

Do đó 4kx² = R.3x

Suy ra R = (4kx²) : (3x)

           R = (4 : 3).k.(x² : x) = $\frac{4}{3}$kx (cm).

Vậy để hai hình chữ nhật này có diện tích bằng nhau thì chiều rộng của hình chữ nhật B là $\frac{4}{3}$kx cm.

Giải Toán 8 trang 16 Tập 1

Thực hành 4 trang 16 Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép chia 8x⁴y⁵z³ cho 2x³y⁴z

Lời giải:

(8x⁴y⁵z³) : (2x³y⁴z)

= (8 : 2).(x⁴ : x³).(y⁵ : y⁴).(z³ : z)

= 4xyz².

Vận dụng 3 trang 16 Toán 8 Tập 1: Tính diện tích đáy của hình hộp chữ nhật có thể tích V = 12x²y và chiều cao bằng 3y.

Lời giải:

Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật đó là:

S_đáy = V : h = (12x²y) : (3y) = (12 : 3).x².(y : y) = 4x².

Khám phá 5 trang 16 Toán 8 Tập 1: Một bức tường được trang trí bởi hai tấm giấy dán có cùng chiều cao 2x (m) và có diện tích lần lượt là 2x² (m²) và 5xy (m²).

a) Tính chiều rộng của mỗi tấm giấy, từ đó tìm chiều rộng của bức tường.

b) Từ kết quả trên, có thể biết được kết quả của phép chia đa thức A = 2x² + 5xy cho đơn thức B = 2x không? Hãy giải thích.

Lời giải:

a) Chiều rộng của tấm giấy dán thứ nhất là:

(2x²) : (2x) = (2 : 2).(x² : x) = x (m).

Chiều rộng của tấm giấy dán thứ hai là:

(5xy) : (2x) = (5 : 2).(x : x).y = $\frac{5}{2}$y (m).

Chiều rộng của bức tường là: $\frac{5}{2}$(m).

b) Diện tích bức tường chính là tổng diện tích hai tấm giấy dán, và bằng:

2x² + 5xy (m²).

Bức tường có chiều cao là 2x (m), do đó chiều rộng của bức tường là kết quả của phép chia đa thức A = 2x² + 5xy cho đơn thức B = 2x.

Mà theo câu a, chiều rộng của bức tường là: $\frac{5}{2}$(m).

Vậy từ kết quả ở câu a, ta có thể biết được kết quả của phép chia đa thức A = 2x² + 5xy cho đơn thức B = 2x là bằng $\frac{5}{2}$.

Thực hành 5 trang 16 Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép chia:

a) (5ab – 2a²) : a;

b) (6x²y² – xy² + 3x²y) : (–3xy).

Lời giải:

a) (5ab – 2a²) : a

= (5ab : a) + (–2a² : a)

= 5.(a : a).b + [– 2.(a² : a)]

= 5b – 2a.

b) (6x²y² – xy² + 3x²y) : (–3xy)

= [6x²y² : (–3xy)] + [– xy² : (–3xy)] + [3x²y : (–3xy)]

= [6 : (–3)].(x² : x).(y² : y) + [(–1) : (–3)].(x : x).(y² : y) + [3 : (–3)].(x² : x).(y : y)

= –2xy + $\frac{1}{3}$y – x.

Vận dụng 4 trang 16 Toán 8 Tập 1: Tính chiều cao của hình hộp chữ nhật có thể tích V = 6x²y – 8xy² và diện tích đáy S = 2xy.

Lời giải:

Chiều cao của hình hộp chữ nhật đó là:

h = V : S_đáy

  = (6x²y – 8xy²) : (2xy)

  = [(6x²y) : (2xy)] – [(8xy²) : (2xy)]

  = (6 : 2).(x² : x).(y : y) – (8 : 2).(x : x).(y² : y)

  = 3x – 4y.

Vậy chiều cao của hình hộp chữ nhật đó là 3x – 4y.

Giải Toán 8 trang 17 Tập 1

Bài tập

Bài 1 trang 17 Toán 8 Tập 1: Tính:

a) x + 2y + (x – y);

b) 2x – y – (3x – 5y);

c) 3x² – 4y² + 6xy + 7 + (–x² + y² – 8xy + 9x + 1);

d) 4x²y – 2xy² + 8 – (3x²y + 9xy² – 12xy + 6).

Lời giải:

a) x + 2y + (x – y)

= x + 2y + x – y

= (x + x) + (2y – y)

= 2x + y.

b) 2x – y – (3x – 5y)

= 2x – y – 3x + 5y

= (2x – 3x) + (–y + 5y)

= –x + 4y.

c) 3x² – 4y² + 6xy + 7 + (–x² + y² – 8xy + 9x + 1)

= 3x² – 4y² + 6xy + 7 – x² + y² – 8xy + 9x + 1

= (3x² – x²) + (– 4y² + y²) + (6xy – 8xy) + (7 + 1) + 9x

= 2x² – 3y² – 2xy + 8 + 9x.

d) 4x²y – 2xy² + 8 – (3x²y + 9xy² – 12xy + 6).

= 4x²y – 2xy² + 8 – 3x²y – 9xy² + 12xy – 6

= (4x²y – 3x²y) + (– 2xy² – 9xy²) + (8 – 6) + 12xy

= x²y – 11xy² + 2 + 12xy.

Bài 2 trang 17 Toán 8 Tập 1: Tìm độ dài cạnh còn thiếu của tam giác ở Hình 7, biết rằng tam giác có chu vi bằng 7x + 5y.

Lời giải:

Độ dài cạnh còn thiếu của tam giác ở Hình 7 là:

(7x + 5y) – (3x – y) – (x + 2y)

= 7x + 5y – 3x + y – x – 2y

= (7x – 3x – x) + (5y + y – 2y)

= 3x + 4y.

Vậy độ dài cạnh còn thiếu của tam giác ở Hình 7 là 3x + 4y.

Bài 3 trang 17 Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép nhân:

a) 3x(2xy – 5x²y);

b) 2x²y(xy – 4xy² + 7y);

c) $\left(-\frac{2}{3}x{y}^2+6y{z}^2\right).\left(-\frac{1}{2}xy\right)$.

Lời giải:

a) 3x(2xy – 5x²y)

= 3x.2xy – 3x.5x²y

= (3.2).(x.x).y – (3.5).(x.x²).y

= 6x²y – 15x³y.

b) 2x²y(xy – 4xy² + 7y)

= 2x²y.xy – 2x²y.4xy² + 2x²y.7y

= 2.(x².x).(y.y) – (2.4).(x².x).(y.y²) + (2.7).x².(y.y)

= 2x³y² – 8x³y³ + 14x²y².

c) $\left(-\frac{2}{3}x{y}^2+6y{z}^2\right).\left(-\frac{1}{2}xy\right)$

$=-\frac{2}{3}x{y}^2.\left(-\frac{1}{2}xy\right)+6y{z}^2.\left(-\frac{1}{2}xy\right)$

$=\left[\left(-\frac{2}{3}\right).\left(-\frac{1}{2}\right)\right].\left(x.x\right).\left(y^2.y\right)+\left[6.\left(-\frac{1}{2}\right)\right].x.\left(y.y\right).z^2$

$=\frac{1}{3}{x}^2{y}^3-3x{y}^2{z}^2$.

Bài 4 trang 17 Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép nhân:

a) (x – y)(x – 5y);

b) (2x + y)(4x² – 2xy + y²).

Lời giải:

a) (x – y)(x – 5y)

= x.(x – 5y) – y.(x – 5y)

= x.x – x.5y – y.x + y.5y

= x² – 5xy – xy + 5y²

= x² – 6xy + 5y².

b) (2x + y)(4x² – 2xy + y²)

= 2x.(4x² – 2xy + y²) + y.(4x² – 2xy + y²)

= 2x.4x² – 2x.2xy + 2x.y² + y.4x² – y.2xy + y.y²

= 8x³ – 4x²y + 2xy² + 4x²y – 2xy² + y³

= 8x³ + (– 4x²y + 4x²y) + (2xy² – 2xy²) + y³

= 8x³ + y³.

Bài 5 trang 17 Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép chia:

a) 20x³y⁵ : (5x²y²);

b) 18x³y⁵ : [3(–x)³y²].

Lời giải:

a) 20x³y⁵ : (5x²y²)

= (20 : 5).(x³ : x²).(y⁵ : y²)

= 4xy³.

b) 18x³y⁵ : [3(–x)³y²]

= 18x³y⁵ : [–3x³y²]

= [18 : (–3)].(x³ : x³).(y⁵ : y²)

= –6y³.

Bài 6 trang 17 Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép chia:

a) (4x³y² – 8x²y + 10xy) : (2xy);

b) (7x⁴y² – 2x²y² – 5x³y⁴) : (3x²y).

Lời giải:

a) (4x³y² – 8x²y + 10xy) : (2xy)

= [(4x³y²) : (2xy)] – [(8x²y) : (2xy)] + [(10xy) : (2xy)]

= (4 : 2).(x³ : x).(y² : y) – (8 : 2).(x² : x).(y : y) + (10 : 2).(x : x).(y : y)

= 2x²y – 4x + 5.

b) (7x⁴y² – 2x²y² – 5x³y⁴) : (3x²y)

= [(7x⁴y²) : (3x²y)] – [(2x²y²) : (3x²y)] – [(5x³y⁴) : (3x²y)]

= (7 : 3).(x⁴ : x²).(y² : y) – (2 : 3).(x² : x²).(y² : y) – (5 : 3).(x³ : x²).(y⁴ : y)

= $\frac{7}{3}$x²y – $\frac{2}{3}$y – $\frac{5}{3}$xy³.

Bài 7 trang 17 Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức:

a) 3x²y – (3xy – 6x²y) + (5xy – 9x²y) tại x = $\frac{2}{3}$, y = - $\frac{3}{4}$;

b) x(x – 2y) – y(y² – 2x) tại x = 5, y = 3.

Lời giải:

a) Thu gọn biểu thức:

3x²y – (3xy – 6x²y) + (5xy – 9x²y)

= 3x²y – 3xy + 6x²y + 5xy – 9x²y

= (3x²y + 6x²y – 9x²y) + (– 3xy + 5xy)

= 2xy

 Thay x = $\frac{2}{3}$ và y = - $\frac{3}{4}$ vào biểu thức đã thu gọn ta có:

$2.\frac{2}{3}.\left(-\frac{3}{4}\right)=-1$.

b) Thu gọn biểu thức:

x(x – 2y) – y(y² – 2x)

= x.x – x.2y – y.y² + y.2x

= x² – 2xy – y³ + 2xy

= x² + (– 2xy + 2xy) – y³

= x² – y³

Thay x = 5 và y = 3 vào biểu thức đã thu gọn ta có:

5² – 3³ = 25 – 27 = –2.

Bài 8 trang 17 Toán 8 Tập 1: Trên một dòng sông, để đi được 10 km, một chiếc xuồng tiêu tốn a lít dầu khi xuôi dòng và tiêu tốn (a + 2) lít dầu khi ngược dòng. Viết biểu thức biểu thị số lít dầu mà xuồng tiêu tốn để đi từ bến A ngược dòng đến bến B, rồi quay lại bến A. Biết khoảng cách giữa hai bến là b km

Lời giải:

Để đi được 1 km thì xuồng tiêu tốn $\frac{1}{10}a$ lít dầu khi xuôi dòng và tiêu tốn $\frac{1}{10}\left(a+2\right)=\frac{1}{10}a+\frac{1}{5}$ lít dầu khi ngược dòng.

Số lít dầu  mà xuồng tiêu tốn để đi từ bến A ngược dòng đến bến B là:

$b.\left(\frac{1}{10}a+\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{10}ab+\frac{1}{5}b$ (lít).

Số lít dầu mà xuồng tiêu tốn để đi từ bến B xuôi dòng quay lại bến A là:

$b.\frac{1}{10}a=\frac{1}{10}ab$ (lít).

Biểu thức biểu thị số lít dầu mà xuồng tiêu tốn để đi từ bến A ngược dòng đến bến B, rồi quay lại bến A là: $\frac{1}{10}ab+\frac{1}{5}b+\frac{1}{10}ab=\left(\frac{1}{10}ab+\frac{1}{10}ab\right)+\frac{1}{5}b=\frac{1}{5}ab+\frac{1}{5}b$ (lít).

Bài 9 trang 17 Toán 8 Tập 1: a) Tính chiều dài của hình chữ nhật có diện tích bằng 6xy + 10y² và chiều rộng bằng 2y.

b) Tính diện tích đáy của hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 12x³ – 3xy² + 9x²y và chiều cao bằng 3x.

Lời giải:

a) Chiều dài của hình chữ nhật đã cho là:

(6xy + 10y²) : (2y)

= [(6xy) : (2y)] + [(10y²) : (2y)]

= (6 : 2).x.(y : y) + (10 : 2).(y² : y)

= 3x + 5y.

Vậy chiều dài của hình chữ nhật đã cho là 3x + 5y.

b) Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật đã cho là:

S_đáy = V : h

       = (12x³ – 3xy² + 9x²y) : (3x)

       = [(12x³) : (3x)] – [(3xy²) : (3x)] + [(9x²y) : (3x)]

      = (12 : 3).(x³ : x) – (3 : 3).(x : x).y² + (9 : 3).(x² : x).y

       = 4x² – y² + 3xy.

Vậy diện tích đáy của hình hộp chữ nhật đã cho là 4x² – y² + 3xy.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Đơn thức và đa thức nhiều biến

Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 5: Phân thức đại số

Bài 6: Cộng, trừ phân thức