Giải Toán 8 Bài 3: Hình thang – Hình thang cân
Giải Toán 8 trang 68 Tập 1
Lời giải:
Nhận xét: Hai cạnh AB và CD của tứ giác ABCD song song với nhau.
1. Hình thang - hình thang cân
Lời giải:
Nhận xét: Hai cạnh AB và CD của tứ giác ABCD song song với nhau.
Giải Toán 8 trang 69 Tập 1
Lời giải:
a)
Xét hình thang MNPQ (MN // QP) có ˆQ=90° nên là hình thang vuông.
Suy ra ˆM=ˆQ=90°.
Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác, ta có: ˆM+ˆN+ˆP+ˆQ=360°
Suy ra ˆP=360°−(ˆM+ˆN+ˆQ)
Do đó ˆP=360°−(90°+90°+125°)=55°.
b)
Xét hình thang MNPQ (MN // QP) có ˆP=ˆQ=110° nên là hình thang cân.
Suy ra ˆM=ˆN=180°−110°=70°.
Lời giải:
Hình thang cân ABCD có ˆD=ˆC=75° nên:
ˆA=ˆB=180°−75°=105°.
Vận dụng 2 trang 69 Toán 8 Tập 1: Tứ giác EFGH có các góc cho như trong Hình 5.
a) Chứng minh rằng EFGH là hình thang.
b) Tìm góc chưa biết của tứ giác.
Lời giải:
a) Ta có ^HEF+ˆE1=180° (hai góc kề bù)
Suy ra ˆE1=180°−^HEF=180°−95°=85°
Do đó ˆE1=ˆF=85°
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên HE // GF.
Xét tứ giác EFGH có HE // GF nên là hình thang.
b) Xét hình thang EFGH có: ˆE+ˆF+ˆG+ˆH=360° (tổng các góc của một tứ giác).
Suy ra ˆH=360°−(ˆE+ˆF+ˆG)
Do đó ˆH=360°−(95°+85°+27°)=153°.
2. Tính chất của hình thang cân
i) Tam giác CEB là tam giác gì? Vì sao?
b) Cho hình thang cân MNPQ có hai đáy là MN và PQ (Hỉnh 6b). So sánh MP và NQ. Giải thích.
Lời giải:
a)
i) Xét hình thang cân ABCD (AB // DC) có ˆA=ˆB.
Vì CE // AD nên ˆA=ˆE (đồng vị).
Do đó ˆE=ˆB.
Xét DCEB có ˆE=ˆB nên là tam giác cân tại C.
ii) Do DCEB cân tại C (câu i) nên CE = CB (1)
Xét DADE và DCED có:
^ADE=^CED (hai góc so le trong của AD // CE);
DE là cạnh chung;
^DEA=^EDC (hai góc so le trong của DC // AB).
Do đó DADE = DCED (g.c.g).
Suy ra AD = CE (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) ta có AD = BC.
b) Áp dụng kết quả của phần ii) câu a) ở trên cho hình thang cân MNPQ ta có MQ = NP.
Xét hình thang cân MNPQ (MN // QP) có ^QMN=^PNM.
Xét DMNQ và DNMP có:
MQ = NP (chứng minh trên);
^QMN=^PNM (chứng minh trên);
MN là cạnh chung.
Do đó DMNQ = DNMP (c.g.c)
Suy ra NQ = MP (hai cạnh tương ứng).
Giải Toán 8 trang 70 Tập 1
Lời giải:
Xét hình thang cân MNPQ (MN // PQ) có MQ = NP và MP = NQ (tính chất hình thang cân).
Lời giải:
Xét hình thang cân ABCD (AB // DC) có ˆD=ˆC; AD = BC và AC = BD (tính chất hình thang cân).
Kẻ BK ⊥ DC.
Ta có AB // DC và BK ⊥ DC
Suy ra BK ⊥ AB nên ^ABK=90°.
Xét DAHK và DABK có:
^KHA=^ABK=90°;
AK là cạnh chung;
^AKH=^KAB (hai góc so le trong của DC // AB).
Do đó DAHK = DABK (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra HK = BK = 1 cm (hai cạnh tương ứng).
Xét DAHD và DBKC có:
^AHD=^BKC=90°;
AD = BC (chứng minh trên);
ˆD=ˆC (chứng minh trên).
Do đó DAHD = DBKC (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra DH = CK (hai cạnh tương ứng).
Mà DH + HK + CK = DC
Hay 2DH = DC – HK
Khi đó DH=CK=DC−HK2=3−12=1 (cm) và HC = 2 cm.
Áp dụng định lí Pythagore cho DAHD vuông tại H, ta có:
AD2 = AH2 + DH2 = 32 + 12 = 9 + 1 = 10.
Do đó AD=√10(cm).
Áp dụng định lí Pythagore cho DAHC vuông tại H, ta có:
AC2 = AH2 + HC2 = 32 + 22 = 9 + 4 = 13.
Do đó AC=√13(cm).
Vậy AD=BC=√10 cm,AC=BD=√13 cm.
3. Dấu hiệu nhận biết của hình thang cân
a) Tam giác CAE là tam giác gì? Vì sao?
b) So sánh tam giác ABD và tam giác BAC.
Lời giải:
a) Xét hình thang ABCD có AB // CD hay AE // DC nên ^DCB=^EBC (so le trong)
Do DB // CE nên ^DBC=^ECB (so le trong).
Xét DDCB và DEBC có:
^DCB=^EBC (chứng minh trên);
CB là cạnh chung;
^DBC=^ECB (chứng minh trên).
Do đó DDCB = DEBC (g.c.g).
Suy ra BD = CE (hai cạnh tương ứng)
Mà AC = BD (giả thiết)
Nên AC = CE.
Xét DACE có AC = CE nên là tam giác cân tại C.
b) Do DACE cân tại C (câu a) nên ^CAE=^CEA (hai góc tương ứng).
Mặt khác DB // CE nên ^DBA=^CEA (đồng vị).
Do đó ^CAE=^DBA(=^CEA).
Xét DABD và DBAC có:
AB là cạnh chung;
^DBA=^CAB (chứng minh trên);
BD = AC (giả thiết).
Do đó DABD = DBAC (c.g.c).
Giải Toán 8 trang 71 Tập 1
Lời giải:
Dùng thước đo góc và thước đo độ dài ta xác định được:
• Hình 12a) có AB // DC nên tứ giác ABCD là hình thang, ta đo được ^ADC=^BCD nên hình thang ABCD là hình thang cân.
• Hình 12b) có ST // VU nên tứ giác STUV là hình thang, ta đo được ˆV≠ˆU nên hình thang STUV không phải là hình thang cân.
• Hình 12c) có EH // FG nên tứ giác EFGH là hình thang, ta đo được EG = HF nên hình thang EFGH là hình thang cân.
• Hình 12d) có MN // QP (do có cặp góc so le trong bằng nhau ^NMP=^MPQ) nên tứ giác MNPQ là hình thang, ta đo được ^MQP≠^NPQ nên hình thang MNPQ không phải là hình thang cân.
Lời giải:
• MNPQ là hình thang cân nên MN // QP; MQ = NP; ^MQP=^NPQ (tính chất hình thang cân).
• Ta có: MN // QP (chứng minh trên) và NK ⊥ QP (giả thiết)
Suy ra NK ⊥ MN hay ^MNK=90°.
Xét DMHK và DKNM có:
^MHK=^KNM=90°;
MK là cạnh huyền chung;
^MKH=^KMN (hai góc so le trong của QP // MN).
Do đó DMHK = DKNM (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra HK = NM = 6 cm (hai cạnh tương ứng).
• Xét DMHQ và DNKP có:
^MHQ=^NKP=90°;
MQ = NP (chứng minh trên);
^MQH=^NPK (chứng minh trên).
Do đó DMHQ = DNKP (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra QH = PK (hai cạnh tương ứng).
Mà QH + HK + PK = QP
Hay 2QH = QP – HK
Khi đó QH = PK = QP−HK2=10−62=2 (cm)
Nên HP = HK + KP = 6 + 2 = 8 (cm).
• Áp dụng định lí Pythagore vào DMHP vuông tại H, ta có:
MP2 = MH2 + HP2
Suy ra MH2 = MP2 – HP2 = (8√2)2−82=128−64=64=82
Do đó MH = 8 cm.
Áp dụng định lí Pythagore vào DMHQ vuông tại H, ta có:
MQ2 = MH2 + HQ2 = 82 + 22 = 64 + 4 = 68
Suy ra MQ=2√17 (cm).
Vậy hình thang cân MNPQ có độ dài đường cao là MH = NK = 8 cm; độ dài cạnh bên là MQ = NP = 2√17 cm.
Bài tập
Bài 1 trang 71 Toán 8 Tập 1: Tìm x và y ở các hình sau.
Lời giải:
• Hình 14a):
Ta có AB // DC nên tứ giác ABCD là hình thang
Do đó ˆB+ˆC=180°
Suy ra x=ˆC=180°−ˆB=180°−140°=40°.
• Hình 14b):
Ta có MN // PQ nên tứ giác MNPQ là hình thang
Do đó ˆM+ˆQ=180°
Suy ra ˆM=180°−ˆQ=180°−60°=120°
Do MN // PQ nên (hai góc so le trong).
• Hình 14c):
Ta có HG // IK nên tứ giác GHIK là hình thang.
Do đó {x+4x=180°2x+3x=180°
Hay 5x = 180° nên x = 36°.
• Hình 14d):
Ta có VS ⊥ ST và UT ⊥ ST nên VS // UT.
Do đó tứ giác STUV là hình thang
Suy ra ˆV+ˆU=180°
Nên 2x + x = 180° hay 3x = 180°, suy ra x = 60°.
Lời giải:
Xét DABD có AB = AD nên là tam giác cân tại A
Suy ra ^ABD=^ADB (tính chất tam giác cân)
Vì BD là tia phân giác của góc B nên ^ABD=^CBD (tính chất tia phân giác của một góc)
Suy ra ^CBD=^ADB(=^ABD)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.
Xét tứ giác ABCD có AD // BC nên là hình thang.
Vậy ABCD là hình thang.
Giải Toán 8 trang 72 Tập 1
a) Tứ giác BCMN là hình thang;
Lời giải:
a) Ta có AH ⊥ BC, AH ⊥ NM nên BC // NM
Tứ giác BCMN có BC // NM nên là hình thang.
b) Do BC // NM nên ^BMN=^MBC (so le trong).
Mà ^NBM=^MBC (do BM là tia phân giác của ^ABC)
Suy ra ^NBM=^BMN(=^MBC)
Tam giác BMN có ^NBM=^BMN nên là tam giác cân tại N
Suy ra BN = MN.
a) Chứng minh rằng DABD = DEBD.
b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Chứng minh rằng tứ giác ADEH là hình thang vuông.
Lời giải:
a) Xét DABD và DEBD có:
BA = BE (giả thiết);
^ABD=^EBD (do BD là tia phân giác của ^ABE);
BD là cạnh chung,
Do đó DABD = DEBD (c.g.c).
b) Do DABD = DEBD (câu a) nên ^BAD=^BED=90° (hai góc tương ứng).
Do đó DE ⊥ BC
Mà AH ⊥ BC (giả thiết) nên DE // AH.
Tứ giác ADEH có DE // AH nên là hình thang
Lại có ^AHE=90° nên ADEH là hình thang vuông.
c) Do DABD = DEBD (câu a) nên AD = ED (hai cạnh tương ứng)
Do đó D nằm trên đường trung trực của AE.
Lại có BA = BE (giả thiết) nên B nằm trên đường trung trực của AE.
Suy ra BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE nên BD ⊥ AE, hay BI ⊥ AE.
Xét DABE có AI ⊥ BE, BI ⊥ AE nên I là trực tâm của tam giác
Do đó EI ⊥ AB hay EF ⊥ AB.
Mà CA ⊥ AB (do DABC vuông tại A)
Suy ra EF // CA.
Tứ giác ACEFF có EF // CA nên là hình thang.
Lại có ^FAC=90° nên ACEFF là hình thang vuông.
Bài 5 trang 72 Toán 8 Tập 1: Tứ giác nào trong Hình 15 là hình thang cân?
Lời giải:
• Hình 15a):
Ta thấy hai góc kề một đáy của tứ giác GHIK có số đo là 51° và 129° không bằng nhau.
Do đó tứ giác GHIK không phải là hình thang cân.
• Hình 15b):
Ta có ˆQ1+^MQP=180° (hai góc kề bù) nên
ˆQ1=180°−^MQP=180°−105°=75°.
Do đó ˆQ1=ˆP(=75°)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên MQ // NP.
Tứ giác MNPQ có MQ // NP nên là hình thang.
Do MQ // NP nên ˆN=75° (góc N so le trong với góc ngoài tại đỉnh M của hình thang)
Do đó ˆN=ˆP=75°.
Hình thang MNPQ có hai góc kề một đáy bằng nhau (ˆN=ˆP) nên là hình thang cân.
• Hình 15c):
Ta có ^ADC+ˆD1=180° (hai góc kề bù)
Suy ra ^ADC=180°−ˆD1=180°−120°=60°
Do đó ^ADC=ˆA1(=60°), mà hai góc này ở vị trí so le trong nên DC // AB.
Tứ giác ABCD có DC // AB và AC = BD nên là hình thang cân.
Lời giải:
Do ABCD là hình thang cân nên AB // DC và AD = BC; AC = BD; ^DAB=^CBA (tính chất hình thang cân).
Xét DACD và DBDC có:
CD là cạnh chung;
AD = BC (chứng minh trên);
AC = BD (chứng minh trên).
Do đó DACD = DBDC (c.c.c)
Suy ra ˆA1=ˆB1 (hai góc tương ứng)
Lại có ^DAB=^CBA (chứng minh trên)
Nên ^DAB−ˆA1=^CBA−ˆB1 hay ˆA2=ˆB2.
Mặt khác EG // AB nên ˆE1=ˆA2 (đồng vị) và ˆE2=ˆB2 (so le trong).
Suy ra ˆE1=ˆE2, do đó EG là tia phân giác của góc CEB.
Lời giải:
Áp dụng định lí Pythagore vào DADE vuông tại E, ta có:
AD2 = AE2 + DE2
Suy ra DE2 = AD2 – AE2 = 612 – 602 = 3 721 – 3 600 = 121 = 112
Do đó DE = 11 cm.
Kẻ BF ⊥ CD, khi đó BF là đường cao của hình thang cân ABCD nên BF = 60 cm.
Xét DADE và DBCF có:
^AED=^BFC=90°;
AD = BC (do ABCD là hình thang cân);
^ADE=^BCF (do ABCD là hình thang cân).
Do đó DADE = DBCF (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra DE = CF = 11 cm (hai cạnh tương ứng).
Mà DE + EF + CF = DC
Nên EF = DC – DE – CF = 92 – 11 – 11 = 70 cm.
Tương tự Vận dụng 4, trang 71, Sách giáo khoa Toán 8, tập một, ta dễ dàng chứng minh được AB = EF = 70 cm.
Vậy độ dài đáy nhỏ của hình thang cân là 70 cm.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 4: Hình bình hành – Hình thoi
