Giải SGK Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 15: Định lí Thalès trong tam giác

Giải SGK Toán lớp 8 Bài 15: Định lí Thalès trong tam giác

Mở đầu trang 76 Toán 8 Tập 1: Cây cầu AB bắc qua một con sông có chiều rộng 300 m. Để đo khoảng cách giữa hai điểm C và D trên hai bờ con sông, người ta chọn một điểm E trên đường thẳng AB sao cho ba điểm E, C, D thẳng hàng. Trên mặt đất, người ta đo được AE = 400 m, EC = 500 m. Theo em, người ta tính khoảng cách giữa C và D như thế nào?

Lời giải:

Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:

Hai cạnh AC và BD thuộc hai bờ của con sông nên AC // BD, áp dụng định lí Thalès, ta có:

$\frac{AE}{AB}=\frac{CE}{CD}$ hay $\frac{400}{300}=\frac{500}{CD}$ .

Suy ra $CD=\frac{300.500}{400}=375$ (m).

Vậy khoảng cách giữa C và D bằng 375 m.

1. Đoạn thẳng tỉ lệ

HĐ1 trang 77 Toán 8 Tập 1: Cho Hình 4.2, em hãy thực hiện các hoạt động sau:

Hãy tìm độ dài của hai đoạn thẳng AB và CD nếu chọn đoạn MN làm đơn vị độ dài. Với các độ dài đó hãy tính tỉ số $\frac{AB}{CD}$.

Lời giải:

Chọn đoạn MN làm đơn vị độ dài thì MN = 1 (đvđd).

Khi đó, AB = 2 (đvđd); CD = 6 (đvđd).

Do đó $\frac{AB}{CD}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

Vậy AB = 2 (đvđd); CD = 6 (đvđd); $\frac{AB}{CD}=\frac{1}{3}$.

HĐ2 trang 77 Toán 8 Tập 1: Cho Hình 4.2, em hãy thực hiện các hoạt động sau:

Dùng thước thẳng, đo độ dài hai đoạn thẳng AB và CD (đơn vị: cm) rồi dùng kết quả vừa đo để tính tỉ số $\frac{AB}{CD}$.

Lời giải:

Đo độ dài các đoạn thẳng, ta được: AB = 4,8 cm; CD = 14,4 cm.

Khi đó $\frac{AB}{CD}=\frac{\mathrm{4,8}}{\mathrm{14,4}}=\frac{1}{3}$.

HĐ3 trang 77 Toán 8 Tập 1: So sánh hai tỉ số tìm được trong hai hoạt động trên.

Lời giải:

Tỉ số $\frac{AB}{CD}$ tìm được ở Hoạt động 1 và Hoạt động 2 bằng nhau và đều bằng $\frac{1}{3}$.

Luyện tập 1 trang 77 Toán 8 Tập 1: Tính tỉ số của các đoạn thẳng có độ dài như sau:

a) MN = 3 cm và PQ = 9 cm.

b) EF = 25 cm và HK = 10 dm.

Lời giải:

a) Tỉ số của các đoạn thẳng được tính như sau: $\frac{MN}{PQ}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3};\frac{PQ}{MN}=\frac{9}{3}=\frac{3}{1}$.

Vậy $\frac{MN}{PQ}=\frac{1}{3};\frac{PQ}{MN}=\frac{3}{1}$.

a) Tỉ số của các đoạn thẳng được tính như sau: $\frac{EF}{HK}=\frac{25}{10}=\frac{5}{2};\frac{HK}{EF}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}$.

Vậy $\frac{EF}{HK}=\frac{5}{2};\frac{HK}{EF}=\frac{2}{5}$.

Luyện tập 2 trang 78 Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC và một điểm B’ nằm trên cạnh AB. Qua điểm B’, ta vẽ một đường thẳng song song với BC, cắt A tại C’ (H.4.4).

Dựa vào hình vẽ, hãy tính và so sánh các tỉ số sau và viết các tỉ lệ thức:

a) $\frac{AB\text{'}}{AB}$ và $\frac{AC\text{'}}{AC}$ .

b) $\frac{AB\text{'}}{B\text{'}B}$  và $\frac{AC\text{'}}{C\text{'}C}$ .

c) $\frac{B\text{'}B}{AB}$  và $\frac{C\text{'}C}{AC}$.

Lời giải:

a) Từ hình vẽ ta thấy: $\frac{AB\text{'}}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3};\frac{AC\text{'}}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Do đó, $\frac{AB\text{'}}{AB}=\frac{AC\text{'}}{AC}$.

b) Từ hình vẽ ta thấy: $\frac{AB\text{'}}{B\text{'}B}=\frac{4}{2}=\frac{2}{1};\frac{AC\text{'}}{C\text{'}C}=\frac{4}{2}=\frac{2}{1}$.

Vậy $\frac{AB\text{'}}{B\text{'}B}=\frac{AC\text{'}}{C\text{'}C}$.

c) Từ hình vẽ ta thấy: $\frac{B\text{'}B}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3};\frac{C\text{'}C}{AC}=\frac{6}{2}=\frac{3}{1}$.

Do đó $\frac{B\text{'}B}{AB}=\frac{C\text{'}C}{AC}$.

2. Định lý Thalès trong tam giác

Luyện tập 3 trang 79 Toán 8 Tập 1: Tìm các độ dài x, y trong Hình 4.6.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Thalès vào ∆ABC, ta có:

$\frac{AM}{BM}=\frac{AN}{CN}$ hay $\frac{\mathrm{6,5}}{x}=\frac{4}{2}$ .

Suy ra $x=\frac{\mathrm{6,5}.2}{4}=\mathrm{3,25}$  (đvđd).

Vậy x = 3,25 (đvđd).

b) Ta có: PQ = PF + QF = 5 + 3,5 = 8,5 (đvđd).

Áp dụng định lí Thalès vào ∆PHQ, ta có:

$\frac{PE}{PH}=\frac{PF}{PQ}$ hay $\frac{4}{y}=\frac{5}{\mathrm{8,5}}$ .

Suy ra $y=\frac{4.\mathrm{8,5}}{5}=\mathrm{6,8}$  (đvđd).

Vậy y = 6,8 (đvđd).

HĐ4 trang 79 Toán 8 Tập 1: Cho ∆ABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm. Trên cạnh AB lấy điểm B’, trên cạnh AC lấy điểm C’ sao cho AB’ = 4 cm, AC’ = 6 cm (H.4.7).

• So sánh các tỉ số $\frac{AB\text{'}}{AB}$ và $\frac{AC\text{'}}{AC}$ .

• Vẽ đường thẳng a đi qua B’ và song song với BC, đường thẳng qua a cắt AC tại điểm C’’. Tính độ dài đoạn thẳng AC’’.

• Nhận xét gì về hai điểm C’, C’’ và hai đường thẳng B’C’, BC?

Lời giải:

• Ta có $\frac{AB\text{'}}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$; $\frac{AC\text{'}}{AC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$ .

Do đó $\frac{AB\text{'}}{AB}=\frac{AC\text{'}}{AC}$ .

• Đường thẳng a đi qua B’ và song song với BC, đường thẳng qua a cắt AC tại điểm C’’ nên B’C’’ // BC.

Áp dụng định lí Thalès vào ∆ABC, ta có:

$\frac{AB\text{'}}{AB}=\frac{AC\text{'}\text{'}}{AC}$ hay $\frac{4}{6}=\frac{AC\text{'}\text{'}}{9}$ .

Suy ra $AC\text{'}\text{'}=\frac{4.9}{6}=6$(cm).

Vậy AC’’ = 6 cm.

• Trên cạnh AC lấy điểm C’ sao cho AC’ = 6 cm.

Đường thẳng a đi qua B’ và song song với BC, đường thẳng qua a cắt AC tại điểm C’’ nên điểm C’’ nằm trên cạnh AC sao cho AC’’ = 6 cm.

Do đó, hai điểm C’, C’’ trùng nhau.

Vì hai điểm C’, C’’ trùng nhau mà B’C’’ // BC nên B’C’ // BC.

Vận dụng trang 80 Toán 8 Tập 1: Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Cây cầu AB bắc qua một con sông có chiều rộng 300 m. Để đo khoảng cách giữa hai điểm C và D trên hai bờ con sông, người ta chọn một điểm E trên đường thẳng AB sao cho ba điểm E, C, D thẳng hàng. Trên mặt đất, người ta đo được AE = 400 m, EC = 500 m. Theo em, người ta tính khoảng cách giữa C và D như thế nào?

Lời giải:

Hai cạnh AC và BD thuộc hai bờ của con sông nên AC // BD, áp dụng định lí Thalès, ta có:

$\frac{AE}{AB}=\frac{CE}{CD}$ hay $\frac{400}{300}=\frac{500}{CD}$.

Suy ra $CD=\frac{300.500}{400}=375$ (m).

Vậy khoảng cách giữa C và D bằng 375 m.

Bài tập

Bài 4.1 trang 80 Toán 8 Tập 1: Tìm độ dài x, y trong Hình 4.9 (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

• Hình 4.9a)

Vì HK // QE nên áp dụng định lí Thalès, ta có:

$\frac{PH}{QH}=\frac{PK}{KE}$ hay $\frac{6}{4}=\frac{8}{x}$ .

Suy ra $x=\frac{8.4}{6}=\frac{16}{3}\approx \mathrm{5,3}$  (đvđd).

• Hình 4.9b)

Vì $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ mà $\widehat{AMN}$ và $\widehat{ABC}$ là hai góc đồng vị nên MN // BC.

Ta có AB = AM + BM = y + 6,5.

Áp dụng định lí Thalès, ta có: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$  hay $\frac{y}{y+\mathrm{6,5}}=\frac{8}{11}$ .

Suy ra 11y = 8(y + 6,5)

11y = 8y + 52

11y – 8y = 52

3y = 52

$y=\frac{52}{3}\approx \mathrm{17,3}$(đvđd)

Vậy x ≈ 5,3 (đvđd); y ≈ 17,3 (đvđd).

Bài 4.2 trang 80 Toán 8 Tập 1: Tìm các cặp đường thẳng song song trong Hình 4.10 và giải thích tại sao chúng song song với nhau.

Lời giải:

• Hình 4.10a)

Ta có $\frac{EM}{EN}=\frac{2}{3};\frac{MF}{PF}=\frac{3}{\mathrm{4,5}}=\frac{2}{3}$  nên $\frac{EM}{EN}=\frac{MF}{PF}$ .

Vì $\frac{EM}{EN}=\frac{MF}{PF}$ , E ∈ MN, F ∈ MP nên theo định lí Thalès đảo ta suy ra EF // MN.

• Hình 4.10b)

* Ta có: $\frac{HF}{KF}=\frac{14}{12}=\frac{7}{6};\frac{HM}{MQ}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$ .

Vì $\frac{HF}{KF}\ne \frac{HM}{MQ}$ nên MF không song song với KQ.

* Ta có: $\frac{MQ}{MH}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3};\frac{EQ}{EK}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$ .

Vì $\frac{MQ}{MH}=\frac{EQ}{EK}$ ; F ∈ HK; M ∈ HQ nên theo định lí Thalès đảo ta suy ra ME // HK.

Bài 4.3 trang 80 Toán 8 Tập 1: Cho ∆ABC, từ điểm D trên cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F và kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E.

Chứng minh rằng: $\frac{AE}{AB}+\frac{AF}{AC}=1$.

Lời giải:

Áp dụng định lí Thalès, ta có:

• Vì DE // AC nên $\frac{AE}{AB}=\frac{CD}{BC}$;

• Vì DF // AC nên $\frac{AF}{AC}=\frac{BD}{BC}$.

Khi đó, $\frac{AE}{AB}+\frac{AF}{AC}=\frac{CD}{BC}+\frac{BD}{BC}=1$ (đpcm).

Bài 4.4 trang 80 Toán 8 Tập 1: Cho ∆ABC có trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d qua G và song song với AB, d cắt BC tại điểm M. Chứng minh rằng $BM=\frac{1}{3}BC$

Lời giải:

Lấy D là trung điểm của cạnh BC.

Khi đó, AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên điểm G nằm trên cạnh AD.

Ta có $\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$ hay $AG=\frac{2}{3}AD$.

Vì MG // AB, theo định lí Thalès, ta suy ra: $\frac{AG}{AD}=\frac{BM}{BD}=\frac{2}{3}$.

Ta có BD = CD (vì D là trung điểm của cạnh BC) nên $\frac{BM}{BC}=\frac{BM}{2BD}=\frac{2}{2.3}=\frac{1}{3}$.

Do đó $BM=\frac{1}{3}BC$ (đpcm).

Bài 4.5 trang 80 Toán 8 Tập 1: Để đo khoảng cách giữa hai vị trí B và E ở hai bên bờ sông, bác An chọn ba vị trí A, F, C cùng nằm ở một bên bờ sông sao cho ba điểm C, E, B thẳng hàng, ba điểm C, F, A thẳng hàng và AB // EF (H.4.11). Sau đó bác An đo được AF = 40 m, FC = 20 m, EC = 30 m. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí B và E bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Theo đề bài, ba điểm C, E, B thẳng hàng, ba điểm C, F, A thẳng hàng và AB // EF, áp dụng định lí Thalès, ta có:

$\frac{EC}{BE}=\frac{CF}{AF}$ hay $\frac{30}{BE}=\frac{20}{40}$ .

Suy ra $BE=\frac{30.40}{20}=60$  (m).

Vậy khoảng cách giữa hai vị trí B và E bằng 60 m.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: