Giải SBT Toán 8 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 2

Giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 2

Bài 20 trang 41 SBT Toán 8 Tập 1: Điều kiện xác định của phân thức $\frac{1}{x-3}$ là:

Bài 21 trang 41 SBT Toán 8 Tập 1: Giá trị của biểu thức $M=\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3-x}$ tại $x=0,5$ là:
A. $\frac{22}{37}$
B. $\frac{22}{35}$
C. $\frac{24}{35}$
D. $\frac{24}{37}$

Lời giải:

Giá trị của biểu thức $M=\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3-x}$ tại $x=0,5$ là:

$\frac{1}{3+0,5}+\frac{1}{3-0,5}=\frac{24}{35}$.

→   Đáp án C.

Bài 22 trang 41 SBT Toán 8 Tập 1: Thương của phép chia phân thức $\frac{y^3-x^3}{6x^{3}y}$ cho phân thức $\frac{x^2+xy+y^2}{2xy}$ là:
A. $\frac{y-x}{3x}$
B. $\frac{x-y}{3x^2}$
C. $\frac{x-y}{3x}$
D. $\frac{y-x}{3x^2}$

Lời giải:

Thực hiện phép chia ta có:

$$\begin{gathered} \frac{y^3-x^3}{6x^{3}y}:\frac{x^2+xy+y^2}{2xy} \\ =\frac{\left(y-x\right)\left(y^2+xy+x^2\right)}{2xy.3x^2}.\frac{2xy}{x^2+xy+y^2} \\ =\frac{y-x}{3x^2} \end{gathered}$$

→   Đáp án D.

Bài 23 trang 41 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

a)     $A=\left(\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}-1\right).\frac{x-y}{2y}$ tại $x=5;y=7$

b)    $B=\frac{2x+y}{2x^2-xy}+\frac{8y}{y^2-4x^2}+\frac{2x-y}{2x^2+xy}$ tại $x=-\frac{1}{2};y=\frac{3}{2}$

c)     $C=\left(\frac{x^2}{y}-\frac{y^2}{x}\right)\left(\frac{x+y}{x^2+xy+y^2}+\frac{1}{x-y}\right)-\frac{x}{y}$ tại $x=-15;y=5$

Lời giải:

a)     Rút gọn biểu thức:

$$\begin{gathered} A=\left(\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}-1\right).\frac{x-y}{2y} \\ =\left(\frac{x^2+y^2-x^2+y^2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\right).\frac{x-y}{2y} \\ =\frac{2y^2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}.\frac{x-y}{2y}=\frac{y}{x+y} \end{gathered}$$

Giá trị của biểu thức $A$ tại $x=5;y=7$ là: $\frac{7}{5+7}=\frac{7}{12}$.

b)    Rút gọn biểu thức:

$\begin{array}{l}B=\frac{2x+y}{2x^2-xy}+\frac{8y}{y^2-4x^2}+\frac{2x-y}{2x^2+xy}\\ =\frac{2x+y}{x\left(2x-y\right)}-\frac{8y}{{\left(2x\right)}^2-y^2}+\frac{2x-y}{x\left(2x+y\right)}\\ =\frac{\left(2x+y\right)\left(2x+y\right)}{x\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)}-\frac{8xy}{x\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)}+\frac{\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)}{x\left(2x+y\right)\left(2x-y\right)}\\ =\frac{{\left(2x+y\right)}^2-8xy+{\left(2x-y\right)}^2}{x\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)}\\ =\frac{4x^2+4xy+y^2-8xy+4x^2-4xy+y^2}{x\left(2x+y\right)\left(2x-y\right)}\\ =\frac{8x^2-8xy+2y^2}{x\left(2x+y\right)\left(2x-y\right)}=\frac{2{\left(2x-y\right)}^2}{x\left(2x+y\right)\left(2x-y\right)}=\frac{2\left(2x-y\right)}{x\left(2x+y\right)}\end{array}$

Giá trị của biểu thức$B$ tại $x=-\frac{1}{2};y=\frac{3}{2}$ là: $\frac{2\left(2.-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\right)}{-\frac{1}{2}\left(2.\frac{-1}{2}+\frac{3}{2}\right)}=20$

c)     Rút gọn biểu thức:

$\begin{array}{l}C=\left(\frac{x^2}{y}-\frac{y^2}{x}\right)\left(\frac{x+y}{x^2+xy+y^2}+\frac{1}{x-y}\right)-\frac{x}{y}\\ =\left(\frac{x^3-y^3}{xy}\right)\left(\frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)+x^2+xy+y^2}{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}\right)-\frac{x}{y}\\ =\left(\frac{x^3-y^3}{xy}\right)\left(\frac{x^2-y^2+x^2+xy+y^2}{x^3-y^3}\right)-\frac{x}{y}\\ =\frac{x^3-y^3}{xy}.\frac{2x^2+xy}{x^3-y^3}-\frac{x}{y}\\ =\frac{\left(x^3-y^3\right).x.\left(2x+y\right)}{xy.\left(x^3-y^3\right)}-\frac{x}{y}\\ =\frac{2x+y}{y}-\frac{x}{y}=\frac{x+y}{y}\end{array}$

Giá trị của biểu thức $C$ tại $x=-15;y=5$ là: $\frac{-15+5}{5}=2$

Bài 24 trang 41 SBT Toán 8 Tập 1: Cho biểu thức: $D=\left(\frac{x+2}{3x}+\frac{2}{x+1}-3\right):\frac{2-4x}{x+1}-\frac{3x-x^2+1}{3x}$

a)     Viết điều kiện xác định của biểu thức $D$

b)    Tính giá trị của biểu thức $D$ tại $x=5947$

c)     Tìm giá trị của $x$ để $D$ nhận giá trị nguyên.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định của biểu thức $D$ là: $x\ne 0;x\ne -1;x\ne \frac{1}{2}$

b) Rút gọn biểu thức $D$ ta có:

$\begin{array}{l}D=\left(\frac{x+2}{3x}+\frac{2}{x+1}-3\right):\frac{2-4x}{x+1}-\frac{3x-x^2+1}{3x}\\ =\left(\frac{\left(x+2\right)\left(x+1\right)+2.3x-3.3x.\left(x+1\right)}{3x\left(x+1\right)}\right).\frac{x+1}{2-4x}-\frac{3x-x^2+1}{3x}\\ =\left(\frac{x^2+3x+2+6x-9x^2-9x}{3x\left(2-4x\right)}\right)-\frac{3x-x^2+1}{3x}\\ =\frac{-8x^2+2}{3x\left(2-4x\right)}-\frac{3x-x^2+1}{3x}\\ =\frac{-2\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}{6x\left(1-2x\right)}-\frac{3x-x^2+1}{3x}\\ =\frac{2x+1}{3x}-\frac{3x-x^2+1}{3x}=\frac{x^2-x}{3x}=\frac{x-1}{3}\end{array}$

Giá trị của biểu thức $D$ tại $x=5947$ là: $\frac{5947-1}{3}=1982$

c) Để $D$ nhận giá trị nguyên thì $\frac{x-1}{3}$ phải nhận giá trị nguyên. Suy ra $x-1⋮3$, tức là $x-1=3k$ hay $x=3k+1$ với $k\in \mathbb{Z}$ (thỏa mãn điều kiện xác định).

Bài 25 trang 41 SBT Toán 8 Tập 1: Cho biểu thức: $S=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\left(1-\frac{x^2}{x+2}\right)-\frac{x^2+6x+4}{x}$

a) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức $S$ tại $x=0,1$

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $S$

Lời giải:

a) Điều kiện xác định của biểu thức $S$ là: $x\ne 0;x\ne -2$

Rút gọn biểu thức ta có:

$\begin{array}{l}S=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\left(1-\frac{x^2}{x+2}\right)-\frac{x^2+6x+4}{x}\\ =\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\frac{x+2-x^2}{x+2}-\frac{x^2+6x+4}{x}\\ =\frac{\left(x+2\right).\left(-x^2+x+2\right)}{x}-\frac{x^2+6x+4}{x}\\ =\frac{-x^3+x^2+2x-2x^2+2x+4-x^2-6x-4}{x}\\ =\frac{-x^3-2x^2-2x}{x}=-x^2-2x-2\end{array}$

Giá trị của biểu thức $S$ tại $x=0,1$ là: $-0,1^2-2.0,1-2=-2,21$

b) Ta có: $S=-x^2-2x-2=-\left(x^2-2x+1\right)-1=-{\left(x-1\right)}^2-1$

Suy ra $S$ đạt giá trị lớn nhất khi $-{\left(x-1\right)}^2-1$ đạt giá trị lớn nhất. Mà với mọi $x$, ta có ${\left(x-1\right)}^2\ge 0$ hay $-{\left(x-1\right)}^2-1\le -1$.

Vậy giá trị lớn nhất của $S$ là -1 khi $\left(x-1\right)=0$ hay $x=1$ (thỏa mãn điều kiện xác định)

Bài 26 trang 42 SBT Toán 8 Tập 1: Hai ca nô cùng xuất phát đi xuôi dòng từ bến $A$ đến bến $B$ dài 24 km. Ca nô thứ nhất đến bến $B$ trước và quay trở lại thì gặp ca nô thứ hai tại vị trí $C$ cách bến $A$ là 8 km. Biết tốc độ của dòng nước là 4 km/h. Gọi $x$ (km/h) là tốc độ của ca nô thứ nhất $\left(x>4\right)$. Viết phân thức biểu thị theo $x$.

a) Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến $A$ đến bến $B$.

b) Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến $B$ đến vị trí $C$.

c)  Tổng thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến $A$ đến bến $B$ và từ bến $B$ đến vị trí $C$.

Lời giải:

a) Vận tốc của ca nô thứ nhất đi xuôi dòng là: $x+4$(km/h)

Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến $A$ đến bến $B$ là: $\frac{24}{x+4}$ (giờ)

b) Vận tốc của ca nô thứ nhất đi ngược dòng là: $x-4$ (km/h)

Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến $B$ đến vị trí $C$ là: $\frac{16}{x-4}$ (giờ)

c) Tổng thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến $A$ đến bến $B$ và từ bến $B$ đến vị trí $C$ là:

$$\begin{gathered} \frac{24}{x+4}+\frac{16}{x-4}=\frac{24\left(x-4\right)+16\left(x+4\right)}{x^2-16} \\ =\frac{24x-96+16x+64}{x^2-16}=\frac{40x-32}{x^2-16} \end{gathered}$$

Bài 27 trang 42 SBT Toán 8 Tập 1: Một tổ sản xuất theo kế hoạch phải may 600 chiếc khẩu trang trong thời gian quy định. Do tăng năng suất lao động, mỗi giờ tổ sản xuất đó may được nhiều hơn kế hoạch 20 chiếc. Gọi $x$ là số khẩu trang mà tổ sản xuất phải may trong mỗi giờ theo kế hoạch $\left(x\in \mathbb{N}\ast ,x<600\right)$. Viết phân thức biểu thị theo $x$.