Giải SBT Toán 8 (Chân trời sáng tạo) Bài 6 : Cộng, trừ phân thức

Giải SBT Toán 8 Bài 6: Cộng, trừ phân thức

Bài 1 trang 22 SBT Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) $\frac{a-3b}{a+b}-\frac{5a+b}{a+b}$;

b) $\frac{7a-b}{2a^3}+\frac{b-3a}{2a^3}$;

c) $\frac{a^2}{{\left(a-b\right)}^2}-\frac{b^2}{{\left(b-a\right)}^2}$;

d) $\frac{a^2+3}{a-2}-\frac{3a}{a-2}+\frac{a-1}{2-a}$.

Lời giải:

a) $\frac{a-3b}{a+b}-\frac{5a+b}{a+b}=\frac{a-3b-\left(5a+b\right)}{a+b}$

$=\frac{a-3b-5a-b}{a+b}=\frac{-4a-4b}{a+b}$

$=\frac{-4\left(a+b\right)}{a+b}=-4$.

b) $\frac{7a-b}{2a^3}+\frac{b-3a}{2a^3}=\frac{7a-b+b-3a}{2a^3}$$=\frac{4a}{2a^3}=\frac{2a.2}{2a.a^2}=\frac{2}{a^2}$.

c) $\frac{a^2}{{\left(a-b\right)}^2}-\frac{b^2}{{\left(b-a\right)}^2}=\frac{a^2}{{\left(a-b\right)}^2}-\frac{b^2}{{\left(a-b\right)}^2}$

$=\frac{a^2-b^2}{{\left(a-b\right)}^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{{\left(a-b\right)}^2}=\frac{a+b}{a-b}$.

d) $\frac{a^2+3}{a-2}-\frac{3a}{a-2}+\frac{a-1}{2-a}=\frac{a^2+3}{a-2}-\frac{3a}{a-2}+\frac{1-a}{a-2}$

$=\frac{a^2+3-3a+1-a}{a-2}=\frac{a^2-4a+4}{a-2}=\frac{{\left(a-2\right)}^2}{a-2}=a-2$.

Bài 2 trang 22 SBT Toán 8 Tập 1: Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau:

a) $\frac{3x}{2x-1}$ và $\frac{3}{2x+1}$;

b) $\frac{1}{xy+x}$ và $\frac{y}{xy-x}$;

c) $\frac{xy}{2x+2y}$ và $\frac{x-y}{{\left(x+y\right)}^2}$;

d) $\frac{1}{x-1}$; $\frac{2x}{x+1}$ và $\frac{1-2x}{x^2-1}$.

Lời giải:

a) Mẫu thức chung là (2x + 1)(2x – 1).

$\frac{3x}{2x-1}=\frac{3x\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)};\frac{3}{2x+1}=\frac{3\left(2x-1\right)}{\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)}$.

b) Ta có xy + x = x(y + 1) và xy ‒ x = x(y ‒ 1),nên mẫu thức chung là x(y + 1)(y ‒ 1).

$\frac{1}{xy+x}=\frac{1}{x\left(y+1\right)}=\frac{y-1}{x\left(y+1\right)\left(y-1\right)}$;

$\frac{y}{xy-x}=\frac{y}{x\left(y-1\right)}=\frac{y\left(y+1\right)}{x\left(y+1\right)\left(y-1\right)}$.

c) Ta có 2x + 2y = 2(x + y) và (x + y)² = (x + y)(x+ y)

Do đó, mẫu thức chung là 2(x + y)².

$\frac{xy}{2x+2y}=\frac{xy}{2\left(x+y\right)}=\frac{xy\left(x+y\right)}{2\left(x+y\right)\left(x+y\right)}=\frac{xy\left(x+y\right)}{2{\left(x+y\right)}^2}$;

$\frac{x-y}{{\left(x+y\right)}^2}=\frac{2\left(x-y\right)}{2{\left(x+y\right)}^2}$.

d) Ta có x² ‒ 1 = (x + 1)(x ‒ 1). Do đó, mẫu thức chung là (x + 1)(x ‒ 1).

$\frac{1}{x-1}=\frac{x+1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$;

$\frac{2x}{x+1}=\frac{2x\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$;

$\frac{1-2x}{x^2-1}=\frac{1-2x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$.

Bài 3 trang 22 SBT Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) $\frac{x}{x+2}-\frac{x}{x-2}$;

b) $\frac{3x}{2y}+\frac{5x}{3y}$;

c) $\frac{y-1}{5y}-\frac{3x-1}{15x}$;

d) $\frac{1-x}{x^3}+\frac{1}{x^2}$;

e) $\frac{x-2y}{x{y}^2}-\frac{y-2x}{x^{2}y}$;

g) $\frac{1-y^2}{3xy}+\frac{2y^3-1}{6x{y}^2}$.

Lời giải:

a) $\frac{x}{x+2}-\frac{x}{x-2}=\frac{x\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}$

$=\frac{x^2-2x-x^2-2x}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\frac{-4x}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}$.

b) $\frac{3x}{2y}+\frac{5x}{3y}=\frac{3x.3}{2y.3}+\frac{5x.2}{3y.2}=\frac{9x+10x}{6y}=\frac{19x}{6y}$.

c) $\frac{y-1}{5y}-\frac{3x-1}{15x}=\frac{\left(y-1\right).3x}{5y.3x}-\frac{\left(3x-1\right).y}{15x.y}$

$$\begin{gathered} =\frac{3xy-3x-\left(3xy-y\right)}{15xy} \\ =\frac{3xy-3x-3xy+y}{15xy}=\frac{y-3x}{15xy} \end{gathered}$$.

d) $\frac{1-x}{x^3}+\frac{1}{x^2}=\frac{1-x}{x^3}+\frac{1.x}{x^2.x}=\frac{1-x+x}{x^3}=\frac{1}{x^3}$.

e) $\frac{x-2y}{x{y}^2}-\frac{y-2x}{x^{2}y}=\frac{\left(x-2y\right).x}{x{y}^2.x}-\frac{\left(y-2x\right).y}{x^{2}y.y}$

$=\frac{x^2-2xy-y^2+2xy}{x^2{y}^2}=\frac{x^2-y^2}{x^2{y}^2}$.

g) $\frac{1-y^2}{3xy}+\frac{2y^3-1}{6x{y}^2}=\frac{\left(1-y^2\right).2y}{3xy.2y}+\frac{2y^3-1}{6x{y}^2}$

$=\frac{2y-2y^3+2y^3-1}{6x{y}^2}=\frac{2y-1}{6x{y}^2}$.

Bài 4 trang 22 SBT Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) $\frac{b}{a-b}+\frac{a^2-3ab}{a^2-b^2}$;

b) $\frac{a+3}{a^2-1}-\frac{1}{a^2+a}$;

c) $\frac{2a}{a^2-4a+4}+\frac{4}{2-a}$;

d) $\frac{a+1}{a^3-1}-\frac{1}{a^2+a+1}$.

Lời giải:

a) $\frac{b}{a-b}+\frac{a^2-3ab}{a^2-b^2}$

$=\frac{b\left(a+b\right)}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}+\frac{a^2-3ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}$

$=\frac{ab+b^2+a^2-3ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}=\frac{a^2-2ab+b^2}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}$

$=\frac{{\left(a-b\right)}^2}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}=\frac{a-b}{a+b}$.

b) $\frac{a+3}{a^2-1}-\frac{1}{a^2+a}$

$=\frac{a+3}{\left(a+1\right)\left(a-1\right)}-\frac{1}{a\left(a+1\right)}$

$=\frac{a\left(a+3\right)}{a\left(a+1\right)\left(a-1\right)}-\frac{a-1}{a\left(a+1\right)\left(a-1\right)}$

$=\frac{a^2+3a-a+1}{a\left(a+1\right)\left(a-1\right)}$

$=\frac{a^2+2a+1}{a\left(a+1\right)\left(a-1\right)}$

$=\frac{{\left(a+1\right)}^2}{a\left(a+1\right)\left(a-1\right)}=\frac{a+1}{a\left(a-1\right)}$.

c) $\frac{2a}{a^2-4a+4}+\frac{4}{2-a}$

$=\frac{2a}{{\left(a-2\right)}^2}-\frac{4}{a-2}=\frac{2a}{{\left(a-2\right)}^2}-\frac{4\left(a-2\right)}{{\left(a-2\right)}^2}$

$=\frac{2a-4a+8}{{\left(a-2\right)}^2}=\frac{8-2a}{{\left(a-2\right)}^2}$.

d) $\frac{a+1}{a^3-1}-\frac{1}{a^2+a+1}$

$=\frac{a+1}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}-\frac{1}{a^2+a+1}$

$=\frac{a+1-\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}=\frac{a+1-a+1}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}=\frac{2}{a^3-1}$.

Bài 5 trang 22 SBT Toán 8 Tập 1: Tính:

a) $x-\frac{2x-y}{4}+\frac{x+4y}{12}$;

b) $\frac{y}{x}-\frac{x}{y}-\frac{x^2+y^2}{xy}$;

c) $\frac{4}{x+2}-\frac{3}{x-2}+\frac{12}{x^2-4}$;

d) $\frac{x+y}{x^2-xy}-\frac{4x}{x^2-y^2}-\frac{x-y}{x^2+xy}$.

Lời giải:

a) $x-\frac{2x-y}{4}+\frac{x+4y}{12}$

$=\frac{x.12}{12}-\frac{3\left(2x-y\right)}{12}+\frac{x+4y}{12}$

$=\frac{12x-6x+3y+x+4y}{12}=\frac{7x+7y}{12}$.

b) $\frac{y}{x}-\frac{x}{y}-\frac{x^2+y^2}{xy}$

$=\frac{y.y}{xy}-\frac{x.x}{xy}-\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{y^2-x^2-x^2-y^2}{xy}$

$=\frac{-2x^2}{xy}=\frac{-2x}{y}$.

c) $\frac{4}{x+2}-\frac{3}{x-2}+\frac{12}{x^2-4}=\frac{4}{x+2}-\frac{3}{x-2}+\frac{12}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

$=\frac{4\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\frac{3\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}+\frac{12}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}$

$=\frac{4x-8-3x-6+12}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\frac{x-2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\frac{1}{x+2}$.

d) $\frac{x+y}{x^2-xy}-\frac{4x}{x^2-y^2}-\frac{x-y}{x^2+xy}$

$=\frac{x+y}{x\left(x-y\right)}-\frac{4x}{\left(x+y\right)\left(x-y\right)}-\frac{x-y}{x\left(x+y\right)}$

$=\frac{\left(x+y\right)\left(x+y\right)}{x\left(x-y\right)\left(x+y\right)}-\frac{4x^2}{x\left(x+y\right)\left(x-y\right)}-\frac{\left(x-y\right)\left(x-y\right)}{x\left(x-y\right)\left(x+y\right)}$

$=\frac{{\left(x+y\right)}^2-4x^2-{\left(x-y\right)}^2}{x\left(x+y\right)\left(x-y\right)}$

$=\frac{x^2+2xy+y^2-4x^2-\left(x^2-2xy+y^2\right)}{x\left(x+y\right)\left(x-y\right)}$

$$\begin{gathered} =\frac{-3x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2}{x\left(x+y\right)\left(x-y\right)} \\ =\frac{-4x^2+4xy}{x\left(x+y\right)\left(x-y\right)} \end{gathered}$$

$=\frac{-4x\left(x-y\right)}{x\left(x+y\right)\left(x-y\right)}=\frac{-4}{x+y}$.

Bài 6 trang 22 SBT Toán 8 Tập 1: Tính:

a) $\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}$;

b) $\frac{b-a}{ab}+\frac{c-b}{bc}-\frac{c-a}{ac}$.

Lời giải:

a) $\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}=\frac{1.c}{abc}+\frac{1.b}{abc}+\frac{1.a}{abc}=\frac{a+b+c}{abc}$.

b) $\frac{b-a}{ab}+\frac{c-b}{bc}-\frac{c-a}{ac}$

$=\frac{c\left(b-a\right)}{abc}+\frac{a\left(c-b\right)}{abc}-\frac{b\left(c-a\right)}{abc}$

$=\frac{bc-ac+ac-ab-bc+ab}{abc}$

$=\frac{\left(bc-bc\right)+\left(-ac+ac\right)+\left(-ab+ab\right)}{abc}$

$=\frac{0}{abc}=0$.

Bài 7 trang 23 SBT Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức:

a) $P=\frac{5}{a+b}+\frac{6}{a-b}-\frac{12b}{a^2-b^2}$ tại a = 0,12 và b = – 0,11;

b) $Q=\frac{a^2+2a}{a^3-1}-\frac{1}{a^2+a+1}$ tại a = 1,25.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: a² ‒ b² ≠ 0.

Rút gọn phân thức đã cho:

$P=\frac{5}{a+b}+\frac{6}{a-b}-\frac{12b}{a^2-b^2}$

$=\frac{5}{a+b}+\frac{6}{a-b}-\frac{12b}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}$

$=\frac{5\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}+\frac{6\left(a+b\right)}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}-\frac{12b}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}$

$=\frac{5a-5b+6a+6b-12b}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}=\frac{11a-11b}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}$

$=\frac{11\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}=\frac{11}{a+b}$.

Với a = 0,12 và b = ‒0,11, ta có a² ‒ b²≠ 0 (điều kiện xác định được thoả mãn).

Khi đó, $P=\frac{11}{0,12+\left(-0,11\right)}=\frac{11}{0,01}=1100$.

b) Điều kiện xác định: a³ ‒ 1 ≠ 0.

Rút gọn phân thức đã cho:

$Q=\frac{a^2+2a}{a^3-1}-\frac{1}{a^2+a+1}$

$=\frac{a^2+2a}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}-\frac{1}{a^2+a+1}$

$=\frac{a^2+2a}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}-\frac{a-1}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}$

$=\frac{a^2+2a-a+1}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}$

$=\frac{a^2+a+1}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}=\frac{1}{a-1}$.

Với a = 1,25, ta có a³ ‒ 1 ≠ 0 (điều kiện xác định được thoả mãn).

Khi đó, $Q=\frac{1}{1,25-1}=\frac{1}{0,25}=4$.

Bài 8 trang 23 SBT Toán 8 Tập 1: Cô Xuân đi bộ quãng đường dài 3 km với tốc độ trung bình x (km/h). Sau đó, cô đi tiếp quãng đường dài 2 km với tốc độ trung bình x – 1 (km/h). Tính tổng thời gian mà cô Xuân đã đi bộ theo x.

Lời giải:

Thời gian cô Xuân đi bộ quãng đường dài 3 km với tốc độ trung bình x (km/h) là: $\frac{3}{x}$ (giờ).

Thời gian cô đi tiếp quãng đường dài 2 km với tốc độ trung bình x – 1 (km/h) là: $\frac{2}{x-1}$ (giờ).

Vậy tổng thời gian mà cô Xuân đã đi bộ là:

$$\begin{gathered} \frac{3}{x}+\frac{2}{x-1}=\frac{3\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)}+\frac{2x}{x\left(x-1\right)} \\ =\frac{3x-3+2x}{x\left(x-1\right)}=\frac{5x-3}{x\left(x-1\right)} \end{gathered}$$ (giờ).

Bài 9 trang 23 SBT Toán 8 Tập 1: Một đội công nhân cần sửa x (m) đường. Dự kiến đội sửa được trung bình y (m) đường mỗi ngày. Tuy nhiên, do thời tiết không thuận lợi nên đội chỉ sửa được trung bình z (m) đường mỗi ngày (z < y). Dự án hoàn thành muộn hơn bao lâu so với kế hoạch ban đầu?

Lời giải:

Thời gian dự kiến đội công nhân sửa được là: $\frac{x}{y}$ (ngày).

Thời gian thực tế đội công nhân sửa được là: $\frac{x}{z}$ (ngày).

Vậy dự án hoàn thành muộn hơn so với kế hoạch ban đầu là:

$\frac{x}{z}-\frac{x}{y}=\frac{xy}{zy}-\frac{xz}{yz}=\frac{xy-xz}{zy}$ (ngày).

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 8 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 5: Phân thức đại số

Bài 7: Nhân, chia phân thức

Bài tập cuối chương 1 trang 26

Bài 1: Hình chóp tam giác đều