Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, biết AB = a, SA = a căn 6

Bài 7.15 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC), đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, biết AB = a, SA = a6.

a) Tính tang của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).

b) Tính sin của góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC).

Trả lời

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), đáy là tam giác ABC

a) Kẻ BH  AC tại H, mà SA  (ABC) nên SA  BH nên BH  (SAC).

Do đó SH là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (SAC). Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng góc giữa hai đường thẳng SB và SH, mà (SH,SB) = BSH^.

Xét tam giác ABC vuông cân tại B, BH  AC, ta có:

1BH2=1AB2+1BC2=1a2+1a2=2a2BH=a22.

Xét tam giác ABH vuông tại H, có:

AB2 = BH2 + AH2 a2 = a222+AH2 AH2 = a22.

Vì SA  (ABC) nên SA  AC.

Xét tam giác SAH vuông tại A, có

SA2 + AH2 = SH2 (a6)2 + a22 = SH2 SH = a262.

Vì BH  (SAC) nên BH  SH.

Xét tam giác SHB vuông tại H, có tanBSH^ = HBSH = 1313.

Vậy tang của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) là 1313 .

b) Kẻ AK  SB tại K.

Có SA  (ABC) nên SA  BC mà tam giác ABC vuông tại B nên BC  AB.

Do đó BC  (SAB) nên BC AK , suy ra AK  (SBC).

Do đó CK là hình chiếu vuông góc của AC trên (SBC), suy ra góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng AC và CK, mà (AC,CK) = ACK^.

Xét tam giác SAB vuông tại A, AK  SB, có:

SB = SA2+AB2=a7;

SA.AB = SB.AK AK = SA.ABSB = a67.

Do tam giác ABC vuông cân tại B nên AC = AB2+BC2=a2 .

Vì AK  (SBC) nên AK  CK.

Xét tam giác ACK vuông tại K, có sinACK^=AKAC=37=217.

Vậy sin của góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) là 217 .

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 22: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 26: Khoảng cách

Bài 27: Thể tích

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả