Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và các cạnh đều bằng a

Bài 7.17 trang 31 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và các cạnh đều bằng a.

a) Chứng minh rằng SO $\perp$ (ABCD).

b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).

c) Gọi M là trung điểm của cạnh SC và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (SBC). Tính sin$\alpha$.

Trả lời

a) Có O là trung điểm của AC, BD.

Vì SA = SC nên tam giác SAC là tam giác cân mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO $\perp$ AC.

Tương tự SO $\perp$ BD. Do đó SO $\perp$ (ABCD).

b) Vì SO $\perp$ (ABCD) nên SO $\perp$ AO.

Lại có AO $\perp$ BD (do ABCD là hình vuông). Do đó AO $\perp$ (SBD).

Suy ra SO là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (SBD). Do đó góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SO.

Mà (SA,SO) = $\widehat{ASO}$.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC² = AB² + BC² = a² + a² = 2a².

Có SA² + SC² = a² + a² = 2a², suy ra AC² = SA² + SC². Do đó tam giác ASC vuông tại S mà SA = SC nên tam giác ASC vuông cân tại S.

Xét tam giác vuông cân ASC tại S có SO là đường cao nên SO là phân giác. Do đó $\widehat{ASO}$ = 45^o .

Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng 45°.

c) Kẻ OK $\perp$ BC tại K, OH $\perp$ SK tại H.

Có BC $\perp$ OK (cách vẽ), BC $\perp$ SO (SO $\perp$ (ABCD)). Do đó BC $\perp$ (SOK), suy ra BC $\perp$ OH mà OH $\perp$ SK nên OH $\perp$ (SBC).

Suy ra, HM là hình chiếu vuông góc của OM trên mặt phẳng (SBC), do đó góc giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng OM và MH, mà (OM,MH) = $\widehat{OMH}=\alpha$.

Do tam giác SOC vuông tại O, OM là trung tuyến nên OM = $\frac{SC}{2}=\frac{a}{2}$.

Xét tam giác ABC có OK là đường trung bình nên OK = $\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$.

Xét tam giác SAC vuông tại S, có $\frac{1}{S{O}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{S{C}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}\Rightarrow SO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác SOK vuông tại O, có $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{K}^2}=\frac{4}{2a^2}+\frac{4}{a^2}\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{6}}{6}$ .

Xét tam giác OHM vuông tại H, có sin$\alpha$ = sin$\widehat{OMH}=\frac{OH}{OM}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Vậy sin$\alpha$ = $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 22: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 26: Khoảng cách

Bài 27: Thể tích