Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Tính côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD

Bài 7.13 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Tính côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).

Trả lời

Kẻ AH $\perp$ (BCD) tại H, ta có BH là hình chiếu vuông góc của AB trên mặt phẳng (BCD) nên góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng góc giữa hai đường AB và BH, mà (AB, BH) = $\widehat{ABH}$ .

Vì AB = AC = AD nên HD = HB = HC hay H là tâm của tam giác BCD.

Gọi M là giao điểm của BH là CD.

Vì tam giác BCD đều cạnh a nên BM là đường cao, trung tuyến và BM = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, suy ra BH = $\frac{2}{3}$BM = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Xét tam giác ABH vuông tại H có: cos$\widehat{ABH}$ = $\frac{BH}{AB}$ = $\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vậy côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 22: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 26: Khoảng cách

Bài 27: Thể tích