Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) với un = 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/n^2

Bài 7 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) với $u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}.$

Trả lời

Ta có: $u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2};$$u_{n+1}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}+\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}$

Suy ra $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$. Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Do $u_n<1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots +\frac{1}{\left(n-1\right)n}=2-\frac{1}{n}$, suy ra 1 < u_n < 2, ∀n ∈ ℕ^*.

Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 5: Phương trình lượng giác

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Dãy số

Bài 2: Cấp số cộng

Bài 3: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2