Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau: a) un = 2n-13/3n-2

Bài 5 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau:

a) $u_n=\frac{2n-13}{3n-2};$

b) $u_n=\frac{n^2+3n+1}{n+1};$

c) $u_n=\frac{1}{\sqrt{1+n+n^2}}.$

Trả lời

a) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_n=\frac{2n-13}{3n-2}$ nên $u_{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)-13}{3\left(n+1\right)-2}=\frac{2n-11}{3n+1}$

Xét $u_{n+1}-u_n=\frac{2n-11}{3n+1}-\frac{2n-13}{3n-2}$

$=\frac{\left(2n-11\right)\left(3n-2\right)-\left(2n-13\right)\left(3n+1\right)}{\left(3n+1\right)\left(3n-2\right)}$

$=\frac{6n^2-37n+22-\left(6n^2-37n-13\right)}{\left(3n+1\right)\left(3n-2\right)}$

$=\frac{35}{\left(3n+1\right)\left(3n-2\right)}>\mathrm{0,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}.$

Suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Mặt khác, ta có: $u_n=\frac{2n-13}{3n-2}=\frac{\frac{2}{3}\left(3n-2\right)-\frac{35}{3}}{3n-2}=\frac{2}{3}-\frac{35}{3\left(3n-2\right)}$

⦁ Do $n\ge 1\Rightarrow 3n-2\ge 1\Rightarrow \frac{35}{3\left(3n-2\right)}\le \frac{35}{3}$$\Rightarrow \frac{2}{3}-\frac{35}{3\left(3n-2\right)}\ge \frac{2}{3}-\frac{35}{3}=-11$

⦁ Do $n\ge 1\Rightarrow 3n-2\ge 1>0\Rightarrow \frac{35}{3\left(3n-2\right)}>0$$\Rightarrow \frac{2}{3}-\frac{35}{3\left(3n-2\right)}<\frac{2}{3}$

Suy ra $-11\le u_n<\frac{2}{3},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$, suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.

b) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_n=\frac{n^2+3n+1}{n+1}$

Nên $u_{n+1}=\frac{{\left(n+1\right)}^2+3\left(n+1\right)+1}{\left(n+1\right)+1}=\frac{n^2+5n+5}{n+2}$

$u_{n+1}-u_n=\frac{n^2+5n+5}{n+2}-\frac{n^2+3n+1}{n+1}$

$=\frac{\left(n^2+5n+5\right)\left(n+1\right)-\left(n^2+3n+1\right)\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

$=\frac{n^3+n^2+5n^2+5n+5n+5-\left(n^3+2n^2+3n^2+6n+n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

$=\frac{n^2+3n+3}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}>\mathrm{0,}\forall n\in \mathbb{N}\text{*}$

Suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Mặt khác, ta có $u_n>\frac{n^2+2n+1}{n+1}=n+1\ge \mathrm{2,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$. Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

c) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_n=\frac{1}{\sqrt{1+n+n^2}}$

Nên $u_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(n+1\right)+{\left(n+1\right)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{n^2+3n+3}}$

Ta có u_n > 0, ∀n ∈ ℕ^* nên $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{1}{\sqrt{n^2+3n+3}}}{\frac{1}{\sqrt{n^2+n+1}}}=\sqrt{\frac{n^2+n+1}{n^2+3n+3}}<\mathrm{1,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}\text{. }$

Suy ra u_n+1 < u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số giảm.

Mặt khác, ta có $n\ge 1;n^2\ge 1\Rightarrow 1+n+n^2\ge 3\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+n+n^2}}\le \frac{1}{\sqrt{3}}$ $0<u_n\le \frac{1}{\sqrt{3}},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$. Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 5: Phương trình lượng giác

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Dãy số

Bài 2: Cấp số cộng

Bài 3: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2