Bài 5 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau:
a) un=2n−133n−2;
b) un=n2+3n+1n+1;
c) un=1√1+n+n2.
a) Số hạng tổng quát của (un) là un=2n−133n−2 nên un+1=2(n+1)−133(n+1)−2=2n−113n+1
Xét un+1−un=2n−113n+1−2n−133n−2
=(2n−11)(3n−2)−(2n−13)(3n+1)(3n+1)(3n−2)
=6n2−37n+22−(6n2−37n−13)(3n+1)(3n−2)
=35(3n+1)(3n−2)>0,∀n∈ℕ*.
Suy ra un+1 > un, ∀n ∈ ℕ*. Suy ra (un) là dãy số tăng.
Mặt khác, ta có: un=2n−133n−2=23(3n−2)−3533n−2=23−353(3n−2)
⦁ Do n≥1⇒3n−2≥1⇒353(3n−2)≤353⇒23−353(3n−2)≥23−353=−11
⦁ Do n≥1⇒3n−2≥1>0⇒353(3n−2)>0⇒23−353(3n−2)<23
Suy ra −11≤un<23,∀n∈ℕ*, suy ra (un) là dãy số bị chặn.
b) Số hạng tổng quát của (un) là un=n2+3n+1n+1
Nên un+1=(n+1)2+3(n+1)+1(n+1)+1=n2+5n+5n+2
Suy ra un+1 > un, ∀n ∈ ℕ*. Suy ra (un) là dãy số tăng.
Mặt khác, ta có . Suy ra (un) là dãy số bị chặn dưới.
c) Số hạng tổng quát của (un) là
Nên
Ta có un > 0, ∀n ∈ ℕ* nên
Suy ra un+1 < un, ∀n ∈ ℕ*. Suy ra (un) là dãy số giảm.
Mặt khác, ta có . Suy ra (un) là dãy số bị chặn.
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: