Cho hàm số y = 3 Căn x. Chứng minh rằng y'(x) = 1/3.(3 Căn x^2) (x khác 0)

Bài 1 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $y=\sqrt[3]{x}$. Chứng minh rằng $y^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\left(x\ne 0\right)$.

Trả lời

Với $x_0\ne 0$, ta có:

$y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x_0}}{x-x_0}$

=$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x_0}}{\left(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x_0}\right)\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x{x}_0}+\sqrt[3]{{x_0}^2}\right)}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x{x}_0}+\sqrt[3]{{x_0}^2}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{{x_0}^2}}$.

Vậy $y^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\left(x\ne 0\right)$.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: