Xét đa thức P(x) = x^2.(x^2 + x + 1) - 3.x.(x - a) +  (với a là một số). Thu gọn đa thức P(x) rồi sắp xếp đa thức đó theo số mũ giảm dần của biến

Bài 3 trang 63 Toán 7 Tập 2: Xét đa thức P(x) = x²(x² + x + 1) - 3x(x - a) + $\frac{1}{4}$ (với a là một số).

a) Thu gọn đa thức P(x) rồi sắp xếp đa thức đó theo số mũ giảm dần của biến.

b) Tìm a sao cho tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng $\frac{5}{2}$.

Trả lời

a) Ta có:

P(x) = x²(x² + x + 1) - 3x(x - a) + $\frac{1}{4}$

= x² . x² + x² . x + x² . 1 - (3x . x - 3x .a) + $\frac{1}{4}$

= x⁴ + x³ + x² - (3x² - 3ax) + $\frac{1}{4}$

= x⁴ + x³ + x² - 3x² + 3ax + $\frac{1}{4}$

= x⁴ + x³ + (x² - 3x²) + 3ax + $\frac{1}{4}$

= x⁴ + x³ - 2x² + 3ax + $\frac{1}{4}$

Vậy P(x) = x⁴ + x³ - 2x² + 3ax + $\frac{1}{4}$

b) Ta có đa thức P(x) = x⁴ + x³ - 2x² + 3ax + $\frac{1}{4}$ có các hệ số là: 1; 1; -2; 3a; $\frac{1}{4}$ 

Tổng các hệ số của đa thức P(x) là: $1+1+\left(-2\right)+3a+\frac{1}{4}=3a+\frac{1}{4}$ 

Do tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng $\frac{5}{2}$ nên ta có 3a + $\frac{1}{4}$ = $\frac{5}{2}$.

Suy ra $3a=\frac{5}{2}-\frac{1}{4}=\frac{10}{4}-\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$.

Do đó $a=\frac{9}{4}:3=\frac{9}{4}.\frac{1}{3}=\frac{3}{4}$.

Vậy $a=\frac{3}{4}.$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Đa thức một biến. Nghiệm của đa thức một biến

Bài 3: Phép cộng, phép trừ đa thức một biến

Bài 4: Phép nhân đa thức một biến

Bài 5: Phép chia đa thức một biến

Bài tập cuối chương 6

Bài 1: Tổng các góc của một tam giác