Xét các số phức z, w thỏa mãn $\left|z+2w\right|=1$  và $\left|3z-w\right|=2$ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P=7\left|z+w\right|+\left|z+9w\right|$ . Tính giá trị của $M^2-m^2$ .

Đáp án đúng là: B

Đặt $z_1=z+2w,z_2=3z-w$ . Gọi $A\left(z_1\right),B\left(z_2\right)\Rightarrow OA=1;OB=2$ .

$P=\left|4z_1+z_2\right|+\left|4z_1-z_2\right|$ .

${\left|4z_1+z_2\right|}^2={\left|4\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|}^2=16O{A}^2+O{B}^2+8\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=20+16.cos\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)=20+16x$

với $x=\cos \left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right),x\in \left[-1;1\right]$ .

${\left|4z_1-z_2\right|}^2={\left|4\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right|}^2=16O{A}^2+O{B}^2-8\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=20-16.cos\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)=20-16x$

Khi đó $P=\sqrt{20+16x}+\sqrt{20-16x}$ .

Xét hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{20+16x}+\sqrt{20-16x}$  trên đoạn $\left[-1;1\right]$ .

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{8}{\sqrt{20+16x}}-\frac{8}{\sqrt{20-16x}}=0\iff \sqrt{20+16x}=\sqrt{20-16x}\iff x=0$ (thỏa mãn).

Ta có $f\left(-1\right)=f\left(1\right)=8=m$ ; $f\left(0\right)=4\sqrt{5}=M$ .

Vậy $M^2-m^2=16$ .