Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^2+az+b=0$  (a, b là các số thực). Có bao nhiêu cặp số (a,b) để phương trình đó có hai nghiệm $z_1,z_2$  thỏa mãn $z_1-3=\left(1-\left|z_2\right|\right)i$ ?

Đáp án đúng là: C

Ta có $\Delta =a^2-4b$ .

TH1: $\Delta \ge 0\iff a^2-4b\ge 0$  thì $z_1,z_2\in ℝ$

$z_1-3=\left(1-\left|z_2\right|\right)i\iff \left\{\begin{array}{l}{z}_1-3=0\\ 0=1-\left|z_2\right|\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{z}_1=3\\ \left|z_2\right|=1\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{z}_1=3\\ z_2=1\end{array}\right.$hoặc $\left\{\begin{array}{l}{z}_1=3\\ z_2=-1\end{array}\right.$ .

+) $\left\{\begin{array}{l}{z}_1=3\\ z_2=1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}S=4\\ P=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-a=4\\ b=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-4\\ b=3\end{array}\right.$  (thỏa mãn).

+) $\left\{\begin{array}{l}{z}_1=3\\ z_2=-1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}S=2\\ P=-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-a=2\\ b=-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=-3\end{array}\right.$  (thỏa mãn).

TH2: $\Delta <0\iff a^2-4b<0$  thì $z_1,z_2\notin ℝ\Rightarrow z_1=\overline{z_2}$ .

$z_1-3=\left(1-\left|z_2\right|\right)i\iff z_1=3+\left(1-\left|z_1\right|\right)i$

$\Rightarrow \left|z_1\right|=\sqrt{9+{\left(1-\left|z_1\right|\right)}^2}\iff {\left|z_1\right|}^2=10-2\left|z_1\right|+{\left|z_1\right|}^2\iff \left|z_1\right|=5$

$\Rightarrow z_1=3-4i\Rightarrow z_2=3+4i$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}S=6\\ P=25\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-a=6\\ b=25\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-6\\ b=25\end{array}\right.$(thỏa mãn).

Vậy có 3 cặp số (a,b)  thỏa mãn.