Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn log3(5 - |x| + 2|y|) + 2log2(5 - |x|) + 3 >= log3|y| + log2(5 - |x| + 3|y|)^2

A. 50

B. 61

C. 60

D. 51

Trả lời

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x;y\in \mathbb{Z}\\ 5-\left|x\right|>0\\ y\ne 0\end{array}\right.$ .

Ta có: ${\log }_3\left(5-\left|x\right|+2\left|y\right|\right)+2{\log }_2\left(5-\left|x\right|\right)+3\ge {\log }_3\left|y\right|+{\log }_2{\left(5-\left|x\right|+3\left|y\right|\right)}^2$

$\iff {\log }_3\left(\frac{5-\left|x\right|}{\left|y\right|}+2\right)+2{\log }_2\left(\frac{5-\left|x\right|}{5-\left|x\right|+3\left|y\right|}\right)+3\ge 0$

$\iff {\log }_3\left(\frac{5-\left|x\right|}{\left|y\right|}+2\right)-2{\log }_2\left(1+3\frac{\left|y\right|}{5-\left|x\right|}\right)+3\ge 0$ (*).

Đặt $t=\frac{5-\left|x\right|}{\left|y\right|}>0$

$\left(*\right)\iff {\log }_3\left(t+2\right)-2{\log }_2\left(1+\frac{3}{t}\right)+3\ge 0$ (**).

Xét hàm số $h\left(t\right)={\log }_3\left(t+2\right)-2{\log }_2\left(1+\frac{3}{t}\right)+3$.

$h^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{1}{\ln 3\left(t+2\right)}+\frac{6}{t^2.\left(1+\frac{3}{t}\right).\ln 2}>\mathrm{0,}\forall t>0$ , mặt khác $h\left(1\right)=0$ .

Do đó $\left(**\right)\iff t\ge 1\iff \frac{5-\left|x\right|}{\left|y\right|}\ge 1\iff \left|y\right|\le 5-\left|x\right|$ .

Với $x=0\Rightarrow \left|y\right|\le 5\Rightarrow y\in \left(-\mathrm{5,}-\mathrm{4,}-\mathrm{3,}-\mathrm{2,}-\mathrm{1,1,2,3,4,5}\right)$ , có 10 cặp (x;y)  thỏa mãn.

Với $x=\pm 1\Rightarrow \left|y\right|\le 4\Rightarrow y\in \left(-\mathrm{4,}-\mathrm{3,}-\mathrm{2,}-\mathrm{1,1,2,3,4}\right)$ , có 16 cặp (x;y)  thỏa mãn.

Với $x=\pm 2\Rightarrow \left|y\right|\le 3\Rightarrow y\in \left(-\mathrm{3,}-\mathrm{2,}-\mathrm{1,1,2,3}\right)$ , có 12 cặp (x;y)  thỏa mãn.

Với $x=\pm 3\Rightarrow \left|y\right|\le 2\Rightarrow y\in \left(-\mathrm{2,}-\mathrm{1,1,2}\right)$ , có 8 cặp (x;y)  thỏa mãn.

Với $x=\pm 4\Rightarrow \left|y\right|\le 1\Rightarrow y\in \left(-\mathrm{1,1}\right)$ , có 4 cặp (x;y)  thỏa mãn.

Vậy có 50 cặp (x;y)  thỏa mãn.