Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a và BC = 4a. Gọi M là trung điểm của B’C’, biết khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (B’AC) bằng $\frac{6a}{13}$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

Đáp án đúng là: A

Ta có $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{1}{2}.3a.4a=6a^2$ .

Gọi H là giao điểm của MB và B'C.

Khi đó, theo định lý Ta-let ta có $\frac{HM}{HB}=\frac{MB\text{'}}{BC}=\frac{1}{2}$ .

Ta có $\frac{d\left(M,\left(B^{\text{'}}AC\right)\right)}{d\left(B,\left(B^{\text{'}}AC\right)\right)}=\frac{MH}{BH}=\frac{1}{2}\Rightarrow d\left(B,\left(B^{\text{'}}AC\right)\right)=2d\left(M,\left(B^{\text{'}}AC\right)\right)=\frac{12a}{13}$ .

Từ B dựng BK vuông góc với AC với $K\in AC$ .

Kẻ BI vuông góc với B'K với $I\in B^{\text{'}}K$ .

Vì $BK\perp AC,B{B}^{\text{'}}\perp AC$  nên $AC\perp \left(B{B}^{\text{'}}K\right)\Rightarrow AC\perp BI$ .

Ta có $\left\{\begin{array}{l}BI\perp B^{\text{'}}K\\ BI\perp AC\end{array}\right.\Rightarrow BI\perp \left(B^{\text{'}}AC\right)\Rightarrow BI=d\left(B,\left(B^{\text{'}}AC\right)\right)=\frac{12a}{13}$ .

Xét $\Delta ABC$  vuông tại B, ta có:

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=5a$, $BK.AC=BA.BC\iff BK=\frac{3a.4a}{5a}=\frac{12a}{5}$ .

Xét $\Delta B{B}^{\text{'}}K$  vuông tại B có:

$\frac{1}{B{I}^2}=\frac{1}{B{K}^2}+\frac{1}{B{B^{\text{'}}}^2}\iff \frac{1}{B{B^{\text{'}}}^2}=\frac{1}{{\left(\frac{12a}{13}\right)}^2}-\frac{1}{{\left(\frac{12a}{5}\right)}^2}=\frac{1}{a^2}\iff B{B^{\text{'}}}^2=a^2\iff B{B}^{\text{'}}=a$

Vậy $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S_{\Delta ABC}.B{B}^{\text{'}}=6a^2.a=6a^3$ .