Cho khối nón (N) có đỉnh S, tâm đường tròn đáy là O, góc ở đỉnh bằng 120 độ. Một mặt phẳng (P) đi qua S,

A. $V=192\pi$

B. $V=128\pi$

C. $V=96\pi$

D. $V=64\pi$

Trả lời

Đáp án đúng là: D

Gọi I là trung điểm AB $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}OI\perp SO\\ OI\perp AB\end{array}\right.\Rightarrow d\left(SO,AB\right)=OI$ = 4  .

Đặt $OE=R\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}SO=\frac{R\sqrt{3}}{3}\\ SE=\frac{2R\sqrt{3}}{3}\end{array}\right.$$\Rightarrow SI=\sqrt{S{O}^2+O{I}^2}=\sqrt{\frac{R^2}{3}+16}$   .

Mặt khác $AB=2AI=2\sqrt{A{O}^2-O{I}^2}=2\sqrt{R^2-16}$ .

Vì $\Delta SAB$  vuông tại S nên

$SI=\frac{1}{2}AB$$\iff \sqrt{\frac{R^2}{3}+16}=\sqrt{R^2-16}\iff R^2=48\iff R=4\sqrt{3}$ .

$\Rightarrow h=SO=4$

Vậy $V=\frac{1}{3}\pi R^2.h=\frac{1}{3}\pi \mathrm{.48.4}=64\pi$ .