Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0). a) Tính độ dài các đoạn thẳng AB

Bài 4.23 trang 58 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và CA. Từ đó suy ra tam giác ABC là một tam giác vuông cân.

b) Tìm toạ độ của điểm D sao cho tứ giác ABDC là một hình vuông.

Trả lời

a) Với A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0) ta có:

Do đó AB = CA $\left(=\sqrt{26}\right)$

Nên tam giác ABC cân tại A               (1)

Mặt khác: $B{C}^2={\left(2\sqrt{13}\right)}^2=52$

Và $A{B}^2+A{C}^2={\left(\sqrt{26}\right)}^2+{\left(\sqrt{26}\right)}^2=52$

$\Rightarrow$ BC² = AB² + AC²

Theo định lí Pythagoras đảo thì tam giác ABC vuông tại A        (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC vuông cân tại A với $AB=AC=\sqrt{26};BC=2\sqrt{13}.$

b)

Vì ABC là tam giác vuông cân

Nên để ABDC là hình vuông thì tứ giác ABDC là hình bình hành

$\iff \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DB}$

Gọi D(x_D; y_D) và có A(2;–1), B(1; 4), C(7; 0).

$\Rightarrow \overrightarrow{CA}=\left(-5;-1\right)$và $\overrightarrow{DB}=\left(1-x_D;4-y_D\right)$

Do đó $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DB}\iff \left\{\begin{array}{l}-5=1-x_D\\ -1=4-y_D\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_D=6\\ y_D=5\end{array}\right.$ $\Rightarrow$ D(6; 5).

Vậy tọa độ điểm D cần tìm là D(6; 5).

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 4

Bài 12: Số gần đúng và sai số