Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3,5,-5), B(5,-3,7) và mặt phẳng $\left(P\right):x+y+z=0.$  Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho $M{A}^2-2M{B}^2$  lớn nhất.

A. $M(-2;1;1)$ .

Gọi I thỏa mãn $\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}.$

Khi đó $\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OA}-2(\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OB})=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{OI}=2\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\iff I(13;-11;19).$

Ta có $M{A}^2-2M{B}^2={\left(\overrightarrow{MA}\right)}^2-2{\left(\overrightarrow{MB}\right)}^2={\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2-2{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2=-M{I}^2+\left(I{A}^2-2I{B}^2\right).$

$M{A}^2-2M{B}^2$ lớn nhất khi MI nhỏ nhất. Khi đó I là hình chiếu vuông góc của M lên $\left(P\right)$ .

Ta tìm được $M(6;-18;12)$ .

Chọn C.