Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1,1,1), B(-1,2,0), C(3,-1,2) và M là điểm thuộc mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x-y+2z+7=0.$

Tính giá trị nhỏ nhất của $P=\left|3\overrightarrow{MA}+5\overrightarrow{MB}-7\overrightarrow{MC}\right|.$

A. $P_{\min }=20.$

Gọi điểm $I\left(x;y;z\right)$  sao cho $3\overrightarrow{IA}+5\overrightarrow{IB}-7\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}.$

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}3\left(1-x\right)+5\left(-1-x\right)-7\left(3-x\right)=0\\ 3\left(1-y\right)+5\left(2-y\right)-7\left(-1-y\right)=0\\ 3\left(1-z\right)+5\left(0-z\right)-7\left(2-z\right)=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-23\\ y=20\\ z=-11\end{array}\right.\Rightarrow I\left(-23;20;-11\right).$

Xét $P=\left|3\overrightarrow{MA}+5\overrightarrow{MB}-7\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)+5\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)-7\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)\right|.$

    $=\left|\overrightarrow{MI}+\left(3\overrightarrow{IA}+5\overrightarrow{IB}-7\overrightarrow{IC}\right)\right|=\left|\overrightarrow{MI}\right|=MI.$

$P_{\min }$ khi MI ngắn nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng $\left(\alpha \right).$

Khi đó: $P_{\min }=d\left(I,\left(\alpha \right)\right)=\frac{\left|2.\left(-23\right)-20+2.\left(-11\right)+7\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+2^2}}=27.$

Chọn D.