Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P):ax+by+cz-3=0 (với a,b,c là các số nguyên không đồng thời bằng 0) là mặt phẳng đi qua hai điểm $M\left(0;-1;2\right),N\left(-1;1;3\right)$  và không đi qua điểm $H(0;0;2).$  Biết rằng khoảng cách từ H đến mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của tổng $T=a-2b+3c+12$  bằng

A. -16.

Gọi K là hình chiếu của H lên $\left(P\right),E$ là hình chiếu của H lên  MN

Ta có $d(H;(P\left)\right)=HK$  và $d(H;MN)=HE,HK\le HE$  (không đổi).

Vậy $d(H;(P\left)\right)$  lớn nhất khi $K\equiv E,$  với E là hình chiếu của H lên MN.

Suy ra $E\left(\frac{-1}{3};\frac{-1}{3};\frac{7}{3}\right)$ .

Vậy mặt phẳng $\left(P\right)$  cần tìm là mặt phẳng nhận $\overrightarrow{HE}=\left(-\frac{1}{3};-\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$  làm vectơ pháp tuyến và đi qua M có phương trình là $-x-y+z-3=0$ .

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-1\\ c=1\end{array}\right.$ .

Vậy $T=16$ .

Chọn D.