Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x-2y+2z-3=0 và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z+5=0.$  Giả sử $M\in \left(P\right)$  và $N\in \left(S\right)$  sao cho $\overrightarrow{MN}$  cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}=(1;0;1)$  và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.

A. $MN=3$ .

$\left(S\right)$ có tâm $I(-1;2;1)$  và bán kính $R=1$ .

Ta có: $d(I,(P\left)\right)=\frac{|-1-2.2+2.1-3|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=2>R$ .

Gọi $H$  là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng $\left(P\right)$  và $\alpha$  là góc giữa MN và  NH

Vì $\overrightarrow{MN}$  cùng phương với $\overrightarrow{u}$  nên góc $\alpha$  có số đo không đổi.

$\Delta MNH$ vuông tại H có $\alpha =\widehat{HNM}$  nên $HN=MN.\cos \alpha \Rightarrow MN=\frac{1}{\cos \alpha }.HN$

Do đó MN lớn nhất $\iff HN$  lớn nhất $\iff HN=d(I,(P\left)\right)+R=3.$

Có $\cos \alpha =\left|\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{n_P})\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}$  nên $MN=\frac{1}{\cos \alpha }HN=3\sqrt{2}$ .

Chọn C.