Trong không gian Oxyz, cho các điểm M(m,0,0), N(0,n,0), P(0,0,p) không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn $m^2+n^2+p^2=3$ . Giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng $\left(MNP\right)$  bằng

A. $\frac{1}{3}$ .

Do $M,N,P$  không trùng với gốc tọa độ nên $m\ne 0,n\ne 0,p\ne 0$ .

Phương trình mặt phẳng $\left(MNP\right)$  là: $\frac{x}{m}+\frac{y}{n}+\frac{z}{p}=1\iff \frac{1}{m}x+\frac{1}{n}y+\frac{1}{p}z-1=0$ .

Suy ra $d(O,(MNP\left)\right)=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{p^2}}}$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương $m^2,n^2,p^2$  và ba số dương $\frac{1}{m^2},\frac{1}{n^2},\frac{1}{p^2}$ ta có:

$m^2+n^2+p^2\ge 3\sqrt[3]{m^2{n}^2{p}^2}$ và $\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{p^2}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{m^2{n}^2{p}^2}}$ .

Suy ra $\left(m^2+n^2+p^2\right)\left(\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{p^2}\right)\ge 9$

$$\begin{gathered} \iff 3\cdot \left(\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{p^2}\right)\ge 9\left(\text{do }{m}^2+n^2+p^2=3\right) \\ \iff \frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{p^2}\ge 3\iff \sqrt{\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{p^2}}\ge \sqrt{3}\iff \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{p^2}}}\le \frac{1}{\sqrt{3}} \end{gathered}$$

Vậy $d(O,(MNP\left)\right)\le \frac{1}{\sqrt{3}}.$  Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $m^2=n^2=p^2=1$ .

Vậy giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng $\left(MNP\right)$  là $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Chọn C.