A. $4x-3y-z-4\sqrt{26}=0$ .

Phương trình mặt cầu $\left(S\right)$  là $x^2+y^2+z^2-6x+4y-12=0.$

Suy ra tâm $I\left(3;-2;0\right)$  và bán kính $R=5$ .

Ta gọi khoảng cách từ tâm I của mặt cầu tới các mặt phẳng ở các đáp án là h, khi đó để mặt phẳng cắt mặt cầu $\left(S\right)$  theo một đường tròn có bán kính $r=3$  thì $h=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{25-9}=4$ .

Đáp án A loại vì $h=\frac{|18-4\sqrt{26}|}{\sqrt{26}}\ne 4$ .

Đáp án B loại vì $h=\frac{14}{3}\ne 4$ .

Chọn đáp án C vì $h=4$ .

Đáp án D loại vì $h=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\ne 4$ .

Chọn C.