Trong Hình 9, tìm các vectơ u và v sao cho phép tịnh tiến  biến hình mũi tên (A) thành hình mũi tên

Bài 5 trang 14 Chuyên đề Toán 11: Trong Hình 9, tìm các vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ sao cho phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{u}}$ biến hình mũi tên (A) thành hình mũi tên (B) và phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{v}}$ biến hình mũi tên (A) thành hình mũi tên (C).

Trả lời

⦁ Gọi E₁ là một điểm trên hình mũi tên (A) và $\overrightarrow{u}$ có phương song song với trục đối xứng của hình mũi tên (A), độ dài bằng độ dài từ điểm đầu tới điểm cuối của mũi tên (A) (hình vẽ).

Lấy điểm E₂ sao cho $\overrightarrow{E_1{E}_2}=\overrightarrow{u}$.

Khi đó E₂ là một điểm trên hình mũi tên (B) có vị trí tương ứng với điểm E₁ trên hình mũi tên (A).

Tương tự như vậy, với mỗi điểm M₁ bất kì trên hình mũi tên (A), ta lấy điểm M₂ sao cho $\overrightarrow{M_1{M}_2}=\overrightarrow{u}$ thì ta được tập hợp các điểm M₂ tạo thành hình mũi tên (B).

Do đó phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{u}$ biến hình mũi tên (A) thành hình mũi tên (B).

⦁ Ta gọi (D) là hình mũi tên nằm bên dưới hình mũi tên (A) và bên trái hình mũi tên (C) (như hình vẽ).

Gọi E₃ là một điểm trên hình mũi tên (D) có vị trí tương ứng với điểm E₁ trên hình mũi tên (A).

Giả sử $\overrightarrow{x}$ là vectơ có phương vuông góc với trục đối xứng của hình mũi tên (A), độ dài bằng độ dài từ điểm E₁ đến điểm E₃ (hình vẽ).

Tức là, $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{E_1{E}_3}$.

Lấy điểm E₄ sao cho tứ giác E₁E₂E₄E₃ là hình bình hành.

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta được $\overrightarrow{E_1{E}_4}=\overrightarrow{E_1{E}_2}+\overrightarrow{E_1{E}_3}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{x}$.

Lúc này, ta thấy E₄ là một điểm trên hình mũi tên (C) có vị trí tương ứng với điểm E₁ trên hình mũi tên (A).

Tương tự như vậy, với mỗi điểm M₁ bất kì trên hình mũi tên (A), ta lấy điểm M₄ sao cho $\overrightarrow{M_1{M}_4}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{x}$ thì ta được tập hợp các điểm M₄ tạo thành hình mũi tên (C).

Do đó phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{x}$ biến hình mũi tên (A) thành hình mũi tên (C).

Xem thêm các bài giải Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Phép biến hình và phép dời hình

Bài 2: Phép tịnh tiến

Bài 3: Phép đối xứng trục

Bài 4: Phép đối xứng tâm

Bài 5: Phép quay

Bài 6: Phép vị tự