Cho phép tịnh tiến T vecto u trong đó u = (3;5). a) Tìm ảnh của các điểm A(–3; 4), B(2; –7) qua

Bài 3 trang 14 Chuyên đề Toán 11: Cho phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{u}}$ trong đó $\overrightarrow{u}=\left(3;5\right)$.

a) Tìm ảnh của các điểm A(–3; 4), B(2; –7) qua $T_{\overrightarrow{u}}$.

b) Biết rằng M’(2; 6) là ảnh của điểm M qua $T_{\overrightarrow{u}}$. Tìm tọa độ của điểm M.

c) Tìm ảnh của đường thẳng d: 4x – 3y + 7 = 0 qua $T_{\overrightarrow{u}}$.

Trả lời

a) Đặt $A^{\text{'}}\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}}\right)=T_{\overrightarrow{u}}\left(A\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\text{'}}}=\overrightarrow{u}$, mà $\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\text{'}}}=\left(x^{\text{'}}+3;y^{\text{'}}-4\right)$

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^{\text{'}}+3=3\\ {\mathrm{y}}^{\text{'}}-4=5\end{array}\right.$

Vì vậy $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^{\text{'}}=0\\ {\mathrm{y}}^{\text{'}}=9\end{array}\right.$

Suy ra tọa độ A’(0; 9).

Đặt $B^{\text{'}}\left(x^{\text{'}\text{'}};y^{\text{'}\text{'}}\right)=T_{\overrightarrow{u}}\left(B\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{{\mathrm{BB}}^{\text{'}}}=\overrightarrow{\mathrm{u}}$, mà $\overrightarrow{{\mathrm{BB}}^{\text{'}}}=\left({\mathrm{x}}^{\text{'}\text{'}}-2 ; {\mathrm{y}}^{\text{'}\text{'}}+7\right)$

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^{\text{'}\text{'}}-2=3\\ {\mathrm{y}}^{\text{'}\text{'}}+7=5\end{array}\right.$

Vì vậy $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^{\text{'}\text{'}}=5\\ {\mathrm{y}}^{\text{'}\text{'}}=-2\end{array}\right.$

Suy ra tọa độ B’(5; –2).

Vậy ảnh của các điểm A, B qua $T_{\overrightarrow{u}}$ lần lượt là các điểm A’(0; 9), B’(5; –2).

b) Gọi M(x_M; y_M).

Theo đề, ta có $M^{\text{'}}=T_{\overrightarrow{u}}\left(M\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\text{'}}}=\overrightarrow{\mathrm{u}}$, mà $\overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\text{'}}}=\left(2-{\mathrm{x}}_{\mathrm{M}} ; 6-{\mathrm{y}}_{\mathrm{M}}\right)$

Do đó $\left\{\begin{array}{l}2-{\mathrm{x}}_{\mathrm{M}}=3\\ 6-{\mathrm{y}}_{\mathrm{M}}=5\end{array}\right.$

Vì vậy $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_{\mathrm{M}}=-1\\ {\mathrm{y}}_{\mathrm{M}}=1\end{array}\right.$

Vậy tọa độ M(–1; 1) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) Chọn điểm N(–1; 1) ∈ d: 4x – 3y + 7 = 0.

Gọi N’(x’; y’) lần lượt là ảnh của N qua $T_{\overrightarrow{u}}$.

Ta có $T_{\overrightarrow{u}}\left(N\right)=N^{\text{'}}$, suy ra $\overrightarrow{{\mathrm{NN}}^{\text{'}}}=\overrightarrow{u}$ với $\overrightarrow{{\mathrm{NN}}^{\text{'}}}=\left(x^{\text{'}}+1;y^{\text{'}}-1\right)$

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^{\text{'}}+1=3\\ {\mathrm{y}}^{\text{'}}-1=5\end{array}\right.$

Vì vậy $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^{\text{'}}=2\\ {\mathrm{y}}^{\text{'}}=6\end{array}\right.$

Suy ra tọa độ N’(2; 6).

Đường thẳng d: 4x – 3y + 7 = 0 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_d=\left(4;-3\right)$.

Gọi d’ là ảnh của d qua $T_{\overrightarrow{u}}$, do đó d’ song song hoặc trùng với d nên d’ nhận ${\overrightarrow{n}}_d=\left(4;-3\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có d’ là đường thẳng đi qua M’(2; 6) và có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_d=\left(4;-3\right)$ nên có phương trình là:

4(x – 2) – 3(y – 6) = 0 hay 4x – 3y + 10 = 0.

Vậy ảnh của đường thẳng d: 4x – 3y + 7 = 0 qua $T_{\overrightarrow{u}}$ là đường thẳng d’: 4x – 3y + 10 = 0.

Xem thêm các bài giải Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Phép biến hình và phép dời hình

Bài 2: Phép tịnh tiến

Bài 3: Phép đối xứng trục

Bài 4: Phép đối xứng tâm

Bài 5: Phép quay

Bài 6: Phép vị tự