Trong Hình 1, cho biết A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC. a) Xét xem hai tam giác ABC và A’B’C’ đồng

Khám phá 1 trang 30 Chuyên đề Toán 11: Trong Hình 1, cho biết A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC.

a) Xét xem hai tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng không?

b) Thảo luận nhóm để tìm xem có phép biến hình nào biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ không?

Trả lời

a) Ta có A’ là trung điểm của OA.

Suy ra ${\mathrm{OA}}^{\text{'}}=\frac{1}{2}\mathrm{OA}$ hay $\frac{{\mathrm{OA}}^{\text{'}}}{\mathrm{OA}}=\frac{1}{2}$.

Chứng minh tương tự, ta được $\frac{{\mathrm{OB}}^{\text{'}}}{\mathrm{OB}}=\frac{1}{2}$ và $\frac{{\mathrm{OC}}^{\text{'}}}{\mathrm{OC}}=\frac{1}{2}$.

Do $\frac{{\mathrm{OA}}^{\text{'}}}{\mathrm{OA}}=\frac{{\mathrm{OB}}^{\text{'}}}{\mathrm{OB}}\left(=\frac{1}{2}\right)$ nên áp dụng định lí Thales đảo, ta được A’B’ // AB.

Từ A’B’ // AB, theo hệ quả định lí Thales ta có: $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{{\mathrm{OA}}^{\text{'}}}{\mathrm{OA}}=\frac{1}{2}$ hay $\frac{\mathrm{AB}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=2$.

Chứng minh tương tự, ta được $\frac{\mathrm{BC}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=2$ và $\frac{\mathrm{AC}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=2$.

Xét ∆ABC và ∆A’B’C’, có:

$\frac{\mathrm{AB}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{BC}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{AC}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\left(=2\right)$

Vậy $\mathrm{\Delta ABC}\backsim {\mathrm{\Delta A}}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (c.c.c).

b) Để tìm phép biến hình biến ∆ABC thành ∆A’B’C’, ta tìm phép biến hình biến điểm A thành điểm A’, biến điểm B thành điểm B’, biến điểm C thành điểm C’.

Ta có A’ là trung điểm OA (giả thiết).

Suy ra $\overrightarrow{{\mathrm{OA}}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$.

Do đó phép biến hình biến điểm A thành điểm A’ thỏa mãn $\overrightarrow{{\mathrm{OA}}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ (1)

Thực hiện tương tự, ta được $\overrightarrow{{\mathrm{OB}}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$.

Suy ra phép biến hình biến điểm B thành điểm B’ thỏa mãn $\overrightarrow{{\mathrm{OB}}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ (2)

Thực hiện tương tự, ta được $\overrightarrow{{\mathrm{OC}}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$.

Do đó phép biến hình biến điểm C thành điểm C’ sao cho $\overrightarrow{{\mathrm{OC}}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ (3)

Từ (1), (2), (3), ta thu được phép biến hình biến ∆ABC thành ∆A’B’C’ là phép biến hình biến ba điểm A, B, C thành ba điểm A’, B’, C’ thỏa mãn $\overrightarrow{{\mathrm{OA}}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$, $\overrightarrow{{\mathrm{OB}}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$, $\overrightarrow{{\mathrm{OC}}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$, với O là giao điểm của ba đường thẳng AA’, BB’, CC’.

Xem thêm các bài giải Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 4: Phép đối xứng tâm

Bài 5: Phép quay

Bài 6: Phép vị tự

Bài 7: Phép đồng dạng

Bài tập cuối chuyên đề 1

Bài 1: Đồ thị