Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: (C): x^2 + y^2 + 4x – 2y – 4 = 0

Bài 3 trang 35 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:

(C): x² + y² + 4x – 2y – 4 = 0.

Viết phương trình ảnh của (C)

a) qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2;

b) qua phép vị tự tâm I(1; 1), tỉ số k = –2.

Trả lời

Đường tròn (C): x² + y² + 4x – 2y – 4 = 0 có tâm A(–2; 1) và bán kính $R=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+1^2-\left(-4\right)}=3$.

a) Gọi đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua V_{(O, 2)}

Khi đó (C’) có tâm ảnh của A qua V_{(O, 2)} và bán kính R’ = |2|.R = 2.3 = 6.

Gọi A’(x’; y’) là ảnh của A qua V_{(O, 2)}.

Suy ra $\overrightarrow{{\mathrm{OA}}^{\text{'}}}=2\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ với $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\left(-2;1\right)$ và $\overrightarrow{{\mathrm{OA}}^{\text{'}}}=\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}}\right)$

Do đó 

Vì vậy A’(–4; 2).

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: (x + 4)² + (y – 2)² = 36.

b) Gọi đường tròn (C’’) là ảnh của đường tròn (C) qua V_{(I, –2)}.

Khi đó (C’’') có tâm ảnh của A qua V_{(I, –2)} và bán kính R’’ = |–2|.R = 2.3 = 6.

Gọi A”(x”; y”) là ảnh của A qua V_{(I, –2)}.

Suy ra $\overrightarrow{{\mathrm{IA}}^{\text{'}}}=-2\overrightarrow{\mathrm{IA}}$ với $\overrightarrow{{\mathrm{IA}}^{\text{'}}}=\left({x^{\text{'}}}^{\text{'}}-1;{y^{\text{'}}}^{\text{'}}-1\right)$ và $\overrightarrow{\mathrm{IA}}=\left(-3;0\right)$

Do đó 

Vì vậy 

Suy ra tọa độ A”(7; 1).

Vậy phương trình đường tròn (C”) là: (x – 7)² + (y – 1)² = 36.

Xem thêm các bài giải Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 4: Phép đối xứng tâm

Bài 5: Phép quay

Bài 6: Phép vị tự

Bài 7: Phép đồng dạng

Bài tập cuối chuyên đề 1

Bài 1: Đồ thị