Trong Hình 14, tìm phép vị tự được dùng để biến bốn tam giác nhỏ thành bốn tam giác lớn

Bài 8 trang 36 Chuyên đề Toán 11: Trong Hình 14, tìm phép vị tự được dùng để biến bốn tam giác nhỏ thành bốn tam giác lớn.

Trả lời

Giả sử ta chọn điểm O như hình vẽ.

Ta đặt bốn tam giác nhỏ là ∆OAB, ∆OBC, ∆OCD và ∆ODE và bốn tam giác lớn là ∆OA’B’, ∆OB’C’, ∆OC’D’ và ∆OD’E’ (hình vẽ).

Yêu cầu bài toán đưa về tìm phép vị tự biến ∆OAB, ∆OBC, ∆OCD và ∆ODE lần lượt thành ∆OA’B’, ∆OB’C’, ∆OC’D’ và ∆OD’E’.

Tức là ta đi tìm phép vị tự biến các điểm O, A, B, C, D, E lần lượt thành O, A’, B’, C’, D’, E’.

Ta thấy O là giao điểm của các đường thẳng AA’, BB’, CC’, DD’, EE’.

Ta chứng minh các điểm O, A’, B’, C’, D’, E’ lần lượt là ảnh của các điểm O, A, B, C, D, E qua V_{(O, k)}.

Thật vậy, ta có V_{(O, k)}(A) = A’.

Suy ra $\overrightarrow{{\mathrm{OA}}^{\text{'}}}=k\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ và OA’ = |k|.OA.

Vì A, A’ nằm cùng phía đối với O nên k > 0.

Do đó $k=\frac{{\mathrm{OA}}^{\text{'}}}{\mathrm{OA}}$.

Mà $k=\frac{{\mathrm{OA}}^{\text{'}}}{\mathrm{OA}}=\frac{{\mathrm{OB}}^{\text{'}}}{\mathrm{OB}}$ nên $\overrightarrow{{\mathrm{OB}}^{\text{'}}}=k\overrightarrow{\mathrm{OB}}$, do đó V_{(O, k)}(B) = B’.

Tương tự như trên ta chứng minh được V_{(O, k)}(C) = C’, V_{(O, k)}(D) = D’, V_{(O, k)}(E) = E’.

Vậy $V_{\left(O,\frac{{\mathrm{OA}}^{\text{'}}}{\mathrm{OA}}\right)}$ là phép vị tự cần tìm.

Xem thêm các bài giải Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 4: Phép đối xứng tâm

Bài 5: Phép quay

Bài 6: Phép vị tự

Bài 7: Phép đồng dạng

Bài tập cuối chuyên đề 1

Bài 1: Đồ thị