Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề đúng?

I) Hàm số \(y = x + {\mathop{\rm sinx}\nolimits} \) tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi \)

II) Hàm số \(y = x\cos x\) là hàm số lẻ

III) Hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên từng khoảng xác định

Đáp án A

Phương pháp:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) tuần hoàn với chu kì \(T \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in D \Rightarrow x + T \in D\\f\left( x \right) = f\left( {x + T} \right)\end{array} \right.\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số lẻ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in D \Rightarrow - x \in D\\f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\end{array} \right.\)

Cách giải:

A. Sai vì \(f\left( {x + 2\pi } \right) = x + 2\pi + \sin \left( {x + 2\pi } \right) = x + \sin x + 2\pi \ne f\left( x \right)\)

B. Đúng vì \(\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R} \Rightarrow - x \in \mathbb{R}\\f\left( { - x} \right) = - x.cos\left( { - x} \right) = - x\cos x = - f\left( x \right)\end{array} \right.\)

C. Đúng vì hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k\pi ;\,\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\)