Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt u = a – b, v = a + b và viết các công thức nhận được.

Trả lời

Lời giải:

Ta có: cos a cos b = $\frac{1}{2}$[cos(a – b) + cos(a + b)] (1);

sin a sin b = $\frac{1}{2}$[cos(a – b) – cos(a + b)] (2);

sin a cos b = $\frac{1}{2}$[sin(a – b) + sin(a + b)] (3).

Đặt u = a – b, v = a + b.

Ta có: u + v = (a – b) + (a + b) = 2a và u – v = (a – b) – (a + b) = – 2b.

Suy ra, $a = \frac{{u + v}}{2},\,b = - \frac{{u - v}}{2}$.

Khi đó:

+) (1) trở thành $\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos u + \cos v} \right)$

$\Leftrightarrow \cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}$   (do $\cos \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = \cos \frac{{u - v}}{2}$).

+) (2) trở thành $\sin \frac{{u + v}}{2}\sin \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos u - \cos v} \right)$

$\Leftrightarrow \cos u - \cos v = - 2\sin \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}$ (do $\sin \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = - \sin \frac{{u - v}}{2}$).

+) (3) trở thành $\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\sin u + \sin v} \right)$

$\Leftrightarrow \sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}$.