Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt u = a – b, v = a + b và viết các công thức nhận được.

Trả lời

Lời giải:

Ta có: cos a cos b = \(\frac{1}{2}\)[cos(a – b) + cos(a + b)] (1);

sin a sin b = \(\frac{1}{2}\)[cos(a – b) – cos(a + b)] (2);

sin a cos b = \(\frac{1}{2}\)[sin(a – b) + sin(a + b)] (3).

Đặt u = a – b, v = a + b.

Ta có: u + v = (a – b) + (a + b) = 2a và u – v = (a – b) – (a + b) = – 2b.

Suy ra, \(a = \frac{{u + v}}{2},\,b = - \frac{{u - v}}{2}\).

Khi đó:

+) (1) trở thành \(\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos u + \cos v} \right)\)

\( \Leftrightarrow \cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\)   (do \(\cos \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = \cos \frac{{u - v}}{2}\)).

+) (2) trở thành \(\sin \frac{{u + v}}{2}\sin \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos u - \cos v} \right)\)

\( \Leftrightarrow \cos u - \cos v = - 2\sin \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}\) (do \(\sin \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = - \sin \frac{{u - v}}{2}\)).

+) (3) trở thành \(\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\sin u + \sin v} \right)\)

\( \Leftrightarrow \sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\).