Tính:

a) $\cos \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right)$, biết $\sin a = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ và $\frac{\pi }{2} < a < \pi$;

b) $\tan \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)$, biết $\cos a = - \frac{1}{3}$ và $\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}$.

Lời giải:

a) Vì $\frac{\pi }{2} < a < \pi$ nên cos a < 0.

Mặt khác, từ sin² a + cos² a = 1 suy ra

cos a = $- \sqrt {1 - {{\sin }^2}a} = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.

Ta có: $\cos \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right)$$= \cos a\cos \frac{\pi }{6} - \sin a\sin \frac{\pi }{6}$

$= \left( { - \frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{1}{2} = \frac{{ - \sqrt 6 - 1}}{{2\sqrt 3 }} = - \frac{{\sqrt 3 + 3\sqrt 2 }}{6}$.

b) Vì $\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}$ nên sin a < 0, do đó $\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} > 0$.

Mặt khác từ $1 + {\tan ^2}a = \frac{1}{{{{\cos }^2}a}}$

Suy ra $\tan a = \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}a}} - 1} = \sqrt {\frac{1}{{{{\left( { - \frac{1}{3}} \right)}^2}}} - 1} = 2\sqrt 2$.

Ta có: $\tan \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)$$= \frac{{\tan a - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan a\tan \frac{\pi }{4}}}$$= \frac{{2\sqrt 2 - 1}}{{1 + 2\sqrt 2 .1}} = \frac{{9 - 4\sqrt 2 }}{7}$.