Chứng minh đẳng thức sau:

sin(a + b) sin(a – b) = sin² a – sin² b = cos² b – cos² a.

Lời giải:

Ta có: sin(a + b) sin(a – b) = \(\frac{1}{2}\)[cos(a + b – a + b) – cos(a + b + a – b)]

= \(\frac{1}{2}\)[cos 2b – cos 2a] = \(\frac{1}{2}\)[(2cos² b – 1) – (2cos² a – 1)] = cos² b – cos² a.

Vậy sin(a + b) sin(a – b) = cos² b – cos² a (1).

Lại có, cos 2b – cos 2a = (1 – 2sin² b) – (1 – 2sin² a) = 2(sin² a – sin² b)

Do đó, \(\frac{1}{2}\)[cos 2b – cos 2a] = \(\frac{1}{2}\) . 2(sin² a – sin² b) = sin² a – sin² b.

Vậy sin(a + b) sin(a – b) = sin² a – sin² b (2).

Từ (1) và (2), suy ra sin(a + b) sin(a – b) = sin² a – sin² b = cos² b – cos² a (đpcm).