Cho tam giác ABC có \(\widehat B = 75^\circ \); \(\widehat C = 45^\circ \) và a = BC = 12 cm.

a) Sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\) và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác ABC cho bởi công thức

\(S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}\).

b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Định lí sin trong tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c là: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

Từ đó suy ra \(b = \frac{{a\sin B}}{{\sin A}}\).

Diện tích tam giác ABC là \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\)\( = \frac{1}{2}a.\frac{{a\sin B}}{{\sin A}}.\sin C = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}\).

Vậy \(S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}\) (đpcm).

b) Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong tam giác ABC).

\( \Rightarrow \widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {75^\circ + 45^\circ } \right) = 60^\circ \).

Ta có: \(S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}} = \frac{{{{12}^2}\sin 75^\circ \sin 45^\circ }}{{2\sin 60^\circ }}\)

\( = \frac{{144.\frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {75^\circ - 45^\circ } \right) - \cos \left( {75^\circ + 45^\circ } \right)} \right]}}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}\)

\( = \frac{{72\left( {\cos 30^\circ - \cos 120^\circ } \right)}}{{\sqrt 3 }}\)\( = \frac{{72\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right)}}{{\sqrt 3 }} = 36 + 12\sqrt 3 \).

Vậy diện tích của tam giác ABC là \(S = 36 + 12\sqrt 3 \) (cm²).