Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó tỉ số \(\frac{R}{r}\) bằng:

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Không mất tính tổng quát, do tam giác ABC cân tại A, ta giả sử AB = AC = a.

Do đó: BC = \(\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \)= a\(\sqrt 2 \).

Trong tam giác vuông bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng nửa cạnh huyền.

Nên R = \(\frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Diện tích tam giác ABC là: S = \(\frac{1}{2}\)AB.AC = \(\frac{{{a^2}}}{2}\).

Nửa chu vi tam giác ABC là: p = \(\frac{1}{2}\)(AB + AC + BC) = a + \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Mặt khác: S = p.r \( \Rightarrow \)r = \(\frac{S}{p} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{a + \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{2a - a\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(\frac{R}{r}\)= \(\frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{2a - a\sqrt 2 }}{2}}} = 1 + \sqrt 2 \).